环境水力学中的圆形浮射流及分层环境

浮射流兼有纯射流和纯羽流两种特点，它既受初始动量的作用，同时也受浮力的作用。浮射流的流动受周围环境影响较大，如射流密度与环境流体密度的差异程度、周围环境液体是均质或有密度分层现象、环境流体是处于静止或流动状态等都有重大影响。一般排泄出的废水或废气都有一定的出口流速，即具有初始动量，在出口的近区往往动量起主要作用，离出口越远，初始动量的作用越小，至远区其性质接近于浮力羽流。

浮射流的问题比动量射流和浮羽流都要复杂些，用解析方法较难求得结果，因而常采用近似的数值解或由量纲分析结合实验成果进行归纳。

图6－6　静止均值环境中圆形浮射流

本章主要介绍具有轴对称性质的圆形浮射流，如图6－6所示。先分析环境流体为均质的情况，后分析环境流体密度沿垂向为线性分层的情况。

1．静止均质环境中圆形浮射流

一与水平面成倾角θ0的射流如图，射流离开喷口时的起始密度为ρ1，周围环境为均质流体，密度为ρa，假定ρ1＜ρa，射流孔直径为D，通过射流孔中心O为原点设置x，y坐标，从原点O沿浮射流轴线量取的距离为S。

（1）基本假定

认为流体系不可压缩，整个流场动水压强遵循静水压强分布规律，流场中密度变化不大，除重力之外对于其他作用力（如惯性）不计密度的变化。射流轨迹的曲率较小，不考虑曲率影响等等。除此之外还有下列基本假定：

①卷吸假定：

沿浮射流单位长度的流量变化和由横向紊动所卷吸的流量相等，即，α为浮射流的横向卷吸系数，b为浮射流任意横断面的特征半厚度，um为该断面上轴线流速。

②流速分布、示踪物浓度分布、密度差分布在浮射流各横断面上分别具有相似性且为高斯分布。

由于假定整个浮射流具有轴对称性质，在横断面上流速、浓度、密度差的分布函数根据相似性假定，距原点为s的任意断面上有关参数的分布函数为

式中，r为距原点为s的任意断面上某一点到轴线的距离；Cm，ρm分别为任意断面轴线处的含有物浓度和密度；ρ0为所取的参考密度，一般选用起始断面处的环境流体密度ρa（0）。在均质环境条件下，ρa（0）＝ρa＝常数；λb为选用的分布函数的特征长度。

（2）基本方程式

①连续性方程

根据卷吸假定，，则

②x方向的动量方程

因为沿x方向没有压力变化，故动量守恒，则

将流速分布函数式代入，并忽略密度在射流内的变化，积分得

③y方向的动量方程

沿y轴单位时间内动量的改变应当和密度差所引起的浮力相等，即

④密度差通量守恒方程

和分析羽流的方法类似，对浮射流的质量守恒方程积分同样可得出密度差通量沿流程不变，即

积分后，

⑤含有物质量守恒方程

若浮射流中含有物为示踪物质，其质量将沿流程不变，即

将式（6－84）、式（6－85）代入式（6－92）中，积分后得

⑥浮射流轨迹的几何特性

设在浮射流轴线上距原点O的距离为s处，其直角坐标为x，y，轴线在该点的切线与水平面的夹角为θ。

（3）方程的求解

以上共导出了关于浮射流特性的基本方程式有7个，在这些微分方程中共包含了7个未知数，分别为um，Cm，ρm，b，θ，x，y。方程式的数目恰好能满足求解的要求。

求解上述7个基本方程式的起始（即边界）条件是

在7个方程式中，对具有守恒性质的三个微分方程式，只需要通过简单的积分就可以求解。

对x方向的动量方程式（6－88）积分后得，

对密度差通量守恒方程式（6－91）积分后得，

对含有物质量守恒方程式（6－93）积分得，

由式（6－98）、式（6－99）可见，只要已知浮射流任意断面上特征半厚度b及轴心浓度Cm，即可求出轴心流速um及轴心密度ρm。

事实上对7个基本微分方程要全部得出解析解非常困难，只能在给定条件下用近似的积分法求得数值解来满足实际计算的需要。

下面介绍一个有代表性的数值解法。

（4）数值解法　范乐年－布鲁克斯方法

①方程标准化和无量纲化

变量无量纲化，微分方程无量纲化。

则无量纲流量沿无量纲轴向坐标变化率

由于动量沿水平方向保持不变，所以

无量纲动量的垂直分量沿无量纲轴向坐标变化率

求解上述无量纲微分方程的起始条件式由式（6－96）相应变为：

②数值解的作法和图解曲线

浮射流的初始入射角θ0和无量纲初始动量m0对整个浮射流的发展起着重要作用，同时也是浮射流求解的已知条件，所以数值积分计算应以θ0和m0为参数。首先给定一系列θ0，对每一个确定的θ0值，再选取若干m0值，分别就每一种组合进行计算。

范乐年选取θ0＝0°、15°、30°、45°、60°、90°，并在m0＝0．37～18．0范围内作出了计算成果，这些数值成果已绘制成曲线。针对θ0＝45°，图6－7是用来求解浮射流轴线轨迹和射流半厚度b。图6－8是用于求解浮射流轴线上含有物质浓度（或稀释度）。

图6－7　静止均值环境中圆形浮射流轨迹与厚度求解图（θ0＝45°）

图6－8　静止均质环境中圆形浮射流稀释度求解图（θ0＝45°）

在图6－7中有两簇曲线，其中一簇是以m0为参数的曲线。用于求解射流轴线运动轨迹坐标，另一簇是以为参数的曲线，用于求解浮射流特征半厚度b。曲线的纵坐标为，横坐标为，这样选取坐标是为了便于应用。不难证明，浮射流轴线坐标x，y与无量纲坐标有以下关系

对实际问题求解时，根据已知的θ0、m0、b0，任意假定浮射流轴线上某点x值，从而可算出η及，由附图6－1中的相应曲线可查出该点的，从而求出相应的y值。

若把浮射流起始断面的浓度C0与轴线上任意点的浓度Cm之比定义为浮射流轴线上任意点处的稀释度，则由式（6－99）、（6－100）得

图6－8是用于求解轴线上稀释度S0的。已知m0、θ0及轴线上某点纵坐标ξ值，通过m0、查图6－8可得到相应点的稀释度。当＞50且m0较小时，可利用纯羽流计算公式计算稀释度S0，即

需要指出的是，上述图解曲线是根据α＝0．082，λ＝1．16所得到的。

③考虑初始段的修正

以上求解过程是基于浮射流起始断面的紊动已充分发展，断面上流速、示踪物质浓度符合高斯分布。而实际上射流都是从孔口或喷嘴射出，从喷口平面起要经历一段距离（等于初始长度）后断面上特性才符合高斯分布。因此应用于实际问题时，需要把孔口或喷嘴出口端面与起始段末端断面加以区别，相应地需对上述求解的结果加以修正。原有结果包括图解曲线所得的成果是针对初始段末端的，应当把它们转换为针对喷口断面。

a．初始段末端断面的射流厚度

假定把初始段视为直线，对初始段取动量方程并忽略浮力的影响，则沿S轴动量守恒，即

上式右端积分是在初始段末端断面上，D为喷口的孔径，设b0为初始段末端射流半宽度。代入流速公式后，上式变为

在查附图6－2时的值，故任意断面上的浮射流半厚度应按下式计算：

即是将图解曲线上所差得的。

b．对射流轨迹坐标的修正

以上所得的坐标是针对坐标原点设在初始段末端断面中心O点的xOy坐标系的值，若以喷口中心O′点为x′O′y′坐标，则对xOy坐标系，

图6－9　考虑初始段的修正图

将代入得，

若视初始段为直线，将Alberson等人提供的初始段长度6．2D用于倾斜浮射流，对x′O′y′坐标系的浮射流轨迹坐标为

c．关于轴线上稀释比的修正

令初始段末端断面中心示踪物浓度为C0，喷口断面示踪物浓度为，示踪物质量守恒。

积分化简后得

用图解曲线计算稀释比时，所取参考浓度为初始段末端断面中心浓度C0，即

若以喷口平均浓度作参考浓度，

因此，不同参考浓度的稀释比关系为

将式（6－123）代入上式得

即

由此可见，按图解曲线所得的S0再乘以才是针对喷口平面的稀释比。若取λ＝1．16，则

d．初始段末端断面的m0值

按式（6－101）定义，当初始段末端断面射流特征半厚度时，(www.xing528.com)

式中，

2．静止的线性密度分层环境中圆形浮射流

在湖泊、水库或海洋中由于含盐度不同，或者由于温度分层而引起环境水体的密度有分层现象。在多数实际问题中，密度分层沿铅垂方向接近线性关系，所以分析中只讨论水体密度为线性变化的情况，即。

图6－10　静止线性密度分层环境中的圆形浮射流

如图6－10所示为线性密度分层环境中的浮射流示意图。此时的环境水体密度ρa不再保持常数，而与铅垂坐标y有关。在喷口断面的环境水体密度ρa（0）＝ρ0。

由图可见，线性分层环境中的浮射流轴线呈S形，开始阶段射流在初始动量和浮力作用下弯曲向上，随着射流逐渐扩展，较重的周围流体不断被卷吸，射流本身密度逐渐变重，相应的周围流体愈往高处变得愈轻，向上的浮力越来越小，乃至最后浮力反向（指向下方）。在垂直动量最后消失的地方，浮射流停止上升。该点称为浮射流的终点（xt，yt）。

（1）基本方程式

对线性分层环境中的浮射流，其基本方程式大部分都和均质环境浮射流的形式的形式一样。具体说有以下五个方程式完全一样。

①连续性方程（6－87）式；

②x方向动量方程（6－88）式；

③含有物质量守恒方程（6－89）式；

④浮射流轨迹的几何特性条件式（6－94）式、（6－95）式。

以上五个方程式，不仅从物理意义上适用于线性分层环境情况，而且表达形式完全一样，可以直接引用，这里不再重列。

关于y方向的动量方程式（6－89），就其物理意义来说也完全适用于线性分层的情况，稍有不同的是此时环境密度ρa不是保持常数，且不等于参考密度ρa，故y方向动量方程应变为下式：

均质环境中浮射流的7个基本方程式中，不适用于分层环境浮射流的是密度差通量守恒方程式（6－91），因密度差守恒必须以均质环境为前提。

在分层情况下，射流出流断面的密度和环境流体密度之间的密度差可能是由于射流的某种含有物质（如含盐量、热量等）的浓度C和环境中含有物质的浓度Ca不同所引起的，在小密度差的情况，密度差和浓度差可以认为有线性关系［ρ1－ρ（s，r）］∝［Ca0－C（s，r）］，所以射流含有物总量沿程不变的关系可以用密度差表示的物质守恒关系表达，即沿射流含有物通量的变化等于从射流四周卷吸进入的卷吸量，即

式中右边括号内应为射流周界上的密度差，因环境密度是线性变化的，故可以轴线上的密度差作为平均值计算，以上方程式经过化简为下式

（2）方程的求解

和均质环境下求解类似，这里同样有7个方程式，7个未知数，求解的起始条件中亦和均质环境起始条件式（6－96）一样。

对于x方向的动量方程，含有物质量守恒方程仍然只通过简单积分而求解，其结果和（6－97）、（6－98）一样。

对整个方程组同样不能用解析法求解，只能采用数值解法。

（3）数值解法

仍然介绍范乐年－布鲁克斯的数值解法。

①无量纲方程

上列各式中G、F0为具有量纲的参数，其定义为

引入有关无量纲变量后，线性分层环境中的基本方程式变为下列形式：

求解上列无量纲变量微分方程的起始条件为：

图6－11　静止线性密度分层环境中水平圆形浮射流的无量纲流量、浮力、垂直动量的轴向变化图

②数值解结果和图解曲线

数值求解的作法和前面介绍的均质环境相同。这里有三个参数，即μ0、m0和θ0，为了对分层环境浮射流变化规律有一般的了解，对θ0＝0°、μ0＝0、m0＝0．2特定情况下，浮射流的流量、浮力、垂直动量沿射流流轴ζ的变化规律进行了计算，其结果见图6－11。

由图6－11可见，垂直动量v首先沿轴线ζ增大，而后逐渐下降为零。v＝0的点即是浮射流上升的终点（xt，yt）。上浮力β由开始最大单调逐渐下降，β下降为零的点恰好是垂直动量v达到极大值的地方，而后浮力变为负值。由于射流的紊动卷吸作用，流量μ沿轴线方向总是逐渐增大。

③对考虑初始段的修正

考虑初始段修正的方法和均质环境浮射流情况完全相同。

初始段末端断面的浮射流半厚度仍采用

浮射流轴线稀释比仍采用

浮射流轴线坐标仍采用

初始段末端断面的m0及μ0为

式中

例6－5　排污管出口泄于海中，污水浓度C0＝1000ppm，出口位于海面下24m深处，出口直径D＝0．2m，出口断面处污水与海水相对密度差Δρ0／ρa＝0．02。

（1）出口流速0．4m／s，θ0＝00，试分别用纯羽流和浮射流计算当污水到达海面后的最大流速、最大浓度和平均稀释度。

（2）出口流速0．4m／s，试比较在出射角θ0＝00及θ0＝900两种情况下，污水到达海面上的稀释度。

（3）出口流速3．5m／s，试比较在出射角θ0＝00及θ0＝900两种情况下，污水到达海面上的稀释度。

（4）其他条件与（1）相同，试比较采用D＝0．4m的单孔排泄和用4个互不干扰的多孔排泄的海面稀释度。

解：

（1）出口流速0．4m／s，如按照圆形断面纯羽流处理，则

初始流量

单位起始浮力通量

到达海面处的最大流速

到达海面处的最大浓度

到达海面时的平均稀释度

如果按照浮射流来处理，θ0＝00

由密度佛汝德数

查附录6－1（a），得

查附录6－2（a），得S0≈200

故

（2）出口流速0．4m／s，由（1）得知，

当θ0＝0°时由附录6－2附图6－2（a）查得S0≈200；

当θ0＝90°时由附录6－2附图6－2（d）查得S0≈200。

可见对于低F0值浮力羽流，其轨迹的大部分均呈铅垂形，所以表面稀释度几乎和初始入射角θ0无关。

（3）出口流速3．5m／s，由密度佛汝德数

得到

当θ0＝0°时由附录6－2附图6－2（a）查得S0≈70；

当θ0＝90°时由附录6－2附图6－2（d）查得S0≈50。

可见对于高F0值浮力羽流，水平出射比垂直出射更为有利，因为它比垂直出射具有更长的轨迹，从而具有更强的紊动卷吸效果。

（4）其他条件与（1）相同，由（1）已知，取θ0＝0°，单孔排泄的海面稀释度为S0≈200。

当采用多孔排泄时，

查附录6－2附图6－2（a）得S0≈400，可见多孔排泄的稀释效果比单孔排泄好得多。

例6－6　某海边城镇平均每日产污水40000t，拟将污水排入海洋进行处置，设污水密度近似为1．0kg／m3，海水密度为1．03kg／m3，忽略污水出口流速，排放可按羽流考虑，为使水面最小稀释度达到标准要求的45倍，分别计算采用点源排放和线源排放扩散器处所需的水深。

解：

（1）点源排放

污水流量

单位起始浮力通量

当要求Sm＝45时，

即采用单孔排放，排口需设于水深大于39．5m的海底。

（2）线源排放

线源排放的稀释度与扩散器的长度有关，现考虑扩散器长度为25m和50m两种情形。当L＝25m时，

单位起始浮力通量

由轴线稀释度公式解出

当L＝50m时，

单位起始浮力通量

由轴线稀释度公式解出

可见，若采用25m长的扩散器，扩散器处水深应为11．4m；若采用50m长的扩散器，只需水深7．2m。一般来说，要求的水深越大，则扩散器需离两岸越远，因而所需放流管长度越大，投资自然越大。