环境水力学：静止液体中的浮力羽流

浮力羽流是由于射流与周围环境流体之间存在密度差，使从喷口出来的射流受到浮力的作用，并且因为射流的初始动量很小，主要在浮力作用下继续流动和扩散，所以羽流是一种特殊条件下的射流。实际问题中最常见的是从热源发生的气流，气体受热膨胀，密度减小，相对于周围大气来说出现密度差，由于浮力作用上升，如香烟的烟气和火焰上的气流等。受浮力作用的流动不限于气体，电厂排出的热水在河、湖冷水中的流动，淡水在海水中的流动等，也因存在密度差而受到浮力的作用。

羽流在继续运行和扩散过程中，由于紊动而发生对周围液体的卷吸作用。密度不仅沿程变化，在同一横断面内分布也不均匀，所以羽流是变密度射流中的一种。对变密度射流，一个重要的特征数就是密度佛汝德数

式中，u为射流的特征流速；L为特征长度，对于平面射流，L等于射流厚度2b，对于圆形射流，L等于射流直径d；ρ为射流密度；ρa为环境流体密度；F为反映射流的惯性力与浮力之比。

当F很大时，表明射流是由动量起支配作用；F很小时，则是由浮力起支配作用。若以F0代表射流出口处密度佛汝徳数，当F0→0时属于浮力羽流；若F0→∞，浮力作用趋近于零，为纯射流；若F0处于两者之间则为浮射流。

1、点源羽流的基本方程式

现讨论一种简化模式：认为羽流的源是出自一点，周围环境为无限空间静止流体，由于铅垂方向的浮力作用而形成了流体的上升运动。由于紊动作用，不断卷吸周围液体，羽流断面逐渐扩大。因为周围液体阻力，在横断面上流速分布不均匀，沿轴心线上流速最大，然后向边缘部分逐渐减小（如图6－5所示）。若将坐标轴x沿铅垂方向设置并通过源点，与x轴成垂直的水平面上取r为径向坐标。在无限空间静止环境中羽流具有轴对称性质。运动微分方程采用圆柱坐标表示。羽流运动方程将遵循以下方程式：

图6－5　点源浮羽流

（1）连续性微分方程

（2）运动方程

流动在径向尺度比x方向尺度小得多，在分析中也可以采用边界层的分析方法，不可压缩流体紊流边界层微分方程是由紊流的雷诺方程式简化得出的。同时考虑质量力只有重力，忽略黏性阻力只保留紊动阻力（雷诺应力项），则有

设周围流体压强分布在垂向为静压分布，，

则

式中，ρa为周围流体密度。

若以可压缩流动来处理变密度射流很复杂。一般在密度差不大的情况下，采用鲍辛尼斯克近似。即密度变化的作用只在重力（带g的重力项）上保留，在其他各项（如惯性力项，黏滞力项等）都把密度当做常数（视为和周围流体密度一样）。则分母中的ρ可用ρa代替，式（6－38）变为

（3）含有物质量守恒

用C表示浮羽流中含有物的浓度，写出圆柱坐标下定常紊流中的扩散关系式

上式亦可写成用浓度差表示，ΔC为与周围液体浓度之差，则

对于热量守恒，ΔT为与周围液体温度之差，则

（4）状态方程

流体的密度与温度、含盐度之间关系可表达为

式中T为温度，S为含盐度，Ta、Sa分别为周围液体的温度与含盐度。若羽流是由温度源所引起的，则状态方程为

当温度差T－Ta＝ΔT不大时，可把看做常数，故

浓度差与密度差也可假定为线性关系，ΔC∝Δρ。

2．羽流参数计算

如直接求解上述运动微分方程，则需对紊动项提出相应的紊流模式。另一种方法是利用适当合理假定，通过积分来求解羽流的有关参数，现介绍后一种方法。

（1）相似性假定

认为羽流各横断面上的流速分布、浓度分布均分别存在相似性，且假定为高斯分布，则

式中b为羽流的特征半厚度，当r＝b时，；当r＝λb时，。由实验得知λ为略大于1的系数，说明浓度分布曲线比流速分布曲线要平坦一些。

浓度分布亦可以用浓度差的形式表示：

因为密度差和浓度差呈线性关系，所以

（2）卷吸假定

认为浮羽流从径向被卷吸的液体流速ve与羽流的轴向流速成比例，所以沿轴向单位长度上被卷吸的流量可写作

式中α为卷吸系数，对于点源浮羽流可视为常数。

基于以上假定，可用积分法求解羽流参数。首先，从连续性原理考虑，羽流的流量沿x方向的变化应等于单位长度被卷吸的流量，即

将流速分布代入上式，有

将动量方程从r＝0到r＝∞对断面积分，并且注意到r＝0和r＝∞时，v＝0，，则

左端为单位质量流体的动量通量的沿程变化率，右端为单位质量流体在单位流程上的浮力。将式（6－48）、式（6－51）代入上式，积分化简后得

对质量守恒方程在断面上积分，可得密度差通量守恒关系

将式（6－48）、式（6－51）代入上式，可得

所以(www.xing528.com)

通过上述推导，把原来的连续性方程、运动方程和含有物质量守恒方程转变为（6－54）、（6－56）和（6－58）三个方程。利用上述三个方程，可求解um，b和Δρm，其中λ和α需由实验来确定。

根据式（6－2）的定义，单位（比）质量通量，即体积流量，将式（6－48）代入并积分，得到

根据式（6－3）的定义，单位（比）动量通量为，将式（6－48）代入并积分，得到

根据式（6－4）的定义，单位（比）浮力通量为，将式（6－51）代入并积分，得到

则

则（6－54）、（6－57）式变为

则

因为M（0）＝0（起始动量通量为0），可设

由M（x）＝axn，有，则式（6－67）成为

比较（6－70）、（6－71）两式可见，则

有

令，可求出

将式（6－72）、式（6－73）代入式（6－68），可得

或

式中

由式（6－65）得

由式（6－62）得

将式（6－77）代入式（6－63），得

将式（6－62）、（6－63）、（6－74）、（6－77）代入式（6－61），得

由式（6－61），得

因为比浮力通量沿程不变，则B＝B0，而，则

因为，故

的倒数即轴线上的稀释度。

若把密度佛汝德数定义为

则在整个羽流中，惯性力与浮力之比保持不变。

以上是关于点源扩散而形成的圆形断面羽流的基本特性，用类似方法同样可以得出二维（平面）羽流的相应特性见表6－2。

表6－2　静止均质环境中羽流主要特性表

续表6－2

例6－4　有流量为1．0m3／s的污水在海岸水下70m深处通过圆管排入海水中，污水在出口处的水温为17．8℃，密度为998．6kg／m3，海水水温为11．1℃，密度为1024．9kg／m3。如果污水在排污口处的初始浓度为1kg／m3，试问在水面下10m处的最大浓度和平均稀释度是多少？

解：查表6－2，圆形射流单位起始浮力通量为

水面下10m处的最大浓度

水面下10m处的羽流流量为

水面下10m处的平均稀释度为