环境水力学：二维明渠中的离散分析

第三章已导出了二维紊动移流扩散方程为

针对二维明渠情况对（4－41）式作如下处理：

1．忽略分子扩散项

2．忽略沿纵向紊动扩散项

3．令

4．断面流速分布函数采用对数形式公式，u＝um－u＊f（η），其中f（η）＝。

则式（4－41）变为又因在假设条件下，，故

省略字母上方的横线，则式（4－42）成为

改纵向固定坐标x为以断面平均流速V移动的运动坐标ξ，ξ＝x－Vt，t＝τ

由式（4－42）得到

由ux＝V＋u∧，得到

当扩散经过足够长的时间后，在动坐标系ξ下看，C随时间变化很慢，即可近似令＝0，则

上式表明纵向离散和垂向紊动扩散保持平衡，这和泰勒对圆管层流离散分析的假设一致。

现对铅垂方向采用无量纲坐标，令，式中h为明渠的水深，则（4－45）式变为

任意点时均浓度由断面平均浓度和二者之间的差值组成，则C＝Ca＋，因为＝0，并假定和＝常数，则上式变为

积分上式得

由纵向离散而引起的扩散物质流量为

由式（4－12），得

则纵向离散系数，将式（4－47）代入上式，并且在二维明渠中A＝bh，dA＝bdy＝bhdη，于是(www.xing528.com)

式中Ey为垂向紊动扩散系数，采用雷诺比拟式（3－29）

根据流速分布公式，断面平均流速为

上式中um为垂线上最大流速，k为卡门常数，〈f（η）〉＝，故断面平均流速，且

将式（4－47）、式（4－49）、式（4－50）代入式（4－48）可得出纵向离散系数

上式中积分可按γ函数的级数计算，其值约等于0．4041。若取卡门常数k＝0．41，则EL＝5．86hu＊。

以上在计算沿纵向扩散物质流量时，忽略了纵向的紊动扩散。若按各向同性紊动处理，令Ex＝Ey，由第三章可知Ey＝0．067hu＊，则纵向紊动扩散系数Ex＝＝0．067hu＊，纵向综合扩散系M＝EL＋E＊＝（5．86＋0．067）hu＊＝5．93hu＊。

艾尔德分析求得的纵向离散系数EL或混合系数M值仅仅对规则二元明渠适合，并且选用了特定的流速分布公式，如果改变流速分布公式，其结果显然不同。许多实验资料证明，艾尔德德结果虽然不能直接应用于不规则明渠或天然河道，但它所得纵向离散系数的数量级是正确的。

例4－1　某河流始端瞬时投放10kg示踪剂，河流流速为0．5m／s，纵向离散系数为50m2／s，河流断面积为20m2。求河流下游500m处河水示踪剂浓度随时间的变化曲线。

解：x＝500m处河水中示踪剂浓度

取不同的时间t，可计算得以下结果：

据此可以画出如图所示的C－t变化曲线。x＝500m处，当t≈14min时河水的示踪剂浓度最高，约为C＝0．663mg／L（平均值＝1000s≈16．7min）

为了求出最大浓度的时间，可以对上式取，得到

式中，t为出现最大浓度的时间，由上式解得

例4－2　在一顺直矩形明渠中进行示踪剂试验，渠宽15m，水深2m，平均流速V＝0．6m／s，设渠中水流可近似看作完全均匀的恒定一维流动。t＝0时，在x＝0的断面中心瞬时投放80kg示踪染料，在距投放点1500m下游用浓度探测器记录浓度随时间的变化过程，令记录仪所测得的最大浓度为Cmax，假定示踪剂为守恒物质，纵向离散系数为EL＝0．05m2／s，试问Cmax＝？设浓度探测仪能测读的最小值C＝0．05Cmax，试问示踪云通过下游断面时，记录仪所经历的记录时间是多少？

解：瞬时平面源一维扩散方程为

如例4－1，最大浓度出现的时间为

由此计算出断面最大浓度

用试算法得t1＝2436s，t2＝2566s，云团通过时间t＝t2－t1＝130s