圆管层流中的离散物质在环境水力学中的影响

三维移流扩散方程为

对于圆管流动，采用圆柱坐标比较方便，流速只有沿纵向流速，即uy＝uz＝0，则得到

式中，r为从圆心算起的径向坐标，x为与管轴方向一致的纵向坐标轴，ur为距管轴为r处的纵向流速，由于沿纵向的分子扩散很小，可忽略，故右边第一项可以略去。则得到

由于ur＝V＋，式（4－17）变为

由圆管层流的流速分布公式，其中r0为管的半径，um为管轴处流速。令，则断面平均流速V为

把固定坐标x改为以平均流速V移动的动坐标ξ，则

得

式（4－18）变为

当扩散时间足够长时，C随时间的变化很慢，上式中，可以近似地认为，也就是近似地认为。泰勒深入分析现象的物理过程，对方程做了合理简化。他认为，圆管层流的扩散有两个因素在起作用，一个是断面上纵向流速分布不均匀使扩散质在纵向离散，另一个是径向浓度梯度的存在引起的径向分子扩散（图4－3）。

图4－3　泰勒假定示意图

在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于径向分子扩散作用。随着扩散质纵向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱，但因为纵向离散维持着径向的浓度梯度，从而使径向的分子扩散作用能够始终保持。当扩散时间增大到一定程度后，两种作用保持平衡。

分析中还可以引入两个时间比尺来衡量上述两种作用的强弱，分析各因素发挥作用所需的时间。径向分子扩散的时间比尺t1应与半径r0和分子扩散系数D有关，从量纲分析可得，设扩散质扩展距离为L，管轴流速为um，则纵向离散的时间比尺为t2∝。可见t1是个常量，而t2随L的增大而加大，L是随扩散时间增加而增大的，当扩散时间很长时，使得时，两种作用就会得到平衡。进一步验证了泰勒假设的合理性。举一个具有数量级的例子，对于水中的盐，D≈10－5cm2／s。在一个直径为2mm的管中，最大速度为1cm／s的流动，EL＝＝5．2cm2／s，它比D大几十万倍。起始时间＝1000s，在此期间示踪块团将流动500cm，或5000倍管子半径的距离，因此在流动的最初5000倍管子半径距离内的离散不能用一维离散方程来表述，这是应用这个方程的一个重要限制。

在这种条件下，方程中的可以忽略，方程简化为

也可以写成

设C＝Ca＋，假定，同时假设，则，式（4－21）成为

边界条件为当φ＝1时，。

式（4－22）满足边界条件的一个解为(www.xing528.com)

式中β为一常数。将式（4－23）代入式（4－22），得到

进一步化简，得

得到

则

其中，

将式（4－27）代入式（4－26），得到

扩散物质的流量为

将式（4－26）代入上式，得到

其中“－”表示流量方向与浓度梯度方向相反（推导过程详见附录4－2），由式（4－12）得知

故纵向离散系数

上式表明，圆管层流的纵向离散系数和分子扩散D有关，并与之成反比。由扩散物质守恒关系（4－5）有

将式（4－28）代入得

上式表明相对于运动坐标ξ，圆管层流的纵向离散和分子扩散都由相同形式的微分方程描述，即圆管层流离散的纵向浓度梯度也为正态分布。

以上是忽略了纵向分子扩散系数的，如把它考虑进去，则式（4－29）中的EL应以综合扩散系数M代替

实际说明，所以忽略D项是合理的。