用随机游动分析分子扩散

以上各节是采用欧拉法和确定性数学模型来研究费克扩散的，但是分子扩散是由分子不断地作无规则的布朗运动产生的，因此研究分子扩散也可以把分子运动简化，采用拉格朗日法，跟踪污染物质点的不规则运动，以及采用概率统计方法（即不确定数学模型）来进行研究。

一个分子在两次相互碰撞的运动距离成为自由程、随机步程，假定每一步程的长度为一固定值Δl，设分子运动方向与某一方向x平行，每一步运动时向前运动和向后运动的机会相等，即概率相同，这样任一分子经过N次运动后将由原来位置向＋x方向前进的距离为±Δl±Δl±Δl…（共有N项），出现“＋”，“－”号的可能性完全相等，共有N次运动，每次有两种可能性，总共的可能性为2N个，设出现正号p次，出现负号q次，则

分子通过N次运动，沿x方向前进SΔl，实际向前次数为S＝p－q次，形成SΔl的可能组合为，

式（2－94）即为随机游动问题的关系式。分子运动量N是个大数，可用斯特林公式（Sterling）进行简化

当N→∞时，

当S≪N时，

当N→∞时，

上式表示一个分子经过运动极大的N次后，从原来位置前进一个SΔl距离的概率。令a为分子运动的平均速度，t为分子运动N次所经历的时间，则

代入得：

上式与瞬时面源一维扩散的浓度分布式（2－42）具有相同的形式。式（2－95）表示一个分子在t时刻到达x处的概率，式（2－42）表示在x处t时刻的浓度，这两个概念是成比例的，比较两式的指数部分，得到2Δlat＝4Dt，则(www.xing528.com)

式（2－95）成为

P表示分子在N次运动后到达x的概率。

下面推求经过时间t后分子位于x和x＋δx之间的概率δP。当分子到达x后，下一步运动仍有1／2机会前进，1／2机会后退，因每一步的距离为Δl，下一步运动中没有离开x至x＋δx范围的机会为（两概率相乘，向前向后各1／2，在δx范围内概率为）故

或

上式表明分子运动过程中在x方向作随机运动的概率密度具有正态分布规律。概率密度的标准差为；

上式标明分子运动的平均距离与时间的平方根成正比。即游动2km所需要的时间是游动1km所需时间的4倍！

如令扩散物质总量为M，对于一维情况，

结论表明从随机游动得出的结果与从费克扩散理论的结果是基本一致的。