一维扩散方程求解结果分析

一、均值及方差

利用式（2－42）可以求解任意时刻沿x轴方向的浓度。不难看出，式（2－42）正是高斯分布的表达式。若以时间t为参数，画出浓度沿x轴的分布，如图2－4所示。由图可见，随着时间的增长，扩散范围变宽而峰值浓度变低，浓度分布曲线愈趋扁平。在t接近于零时，峰值浓度最大。

图2－4　静止水体中瞬时点源浓度沿x轴的分布图

若将浓度C看成随机变量，可求出关于C的各阶原点矩，表示为Mn（n为阶数）如下：

从上面的定义不难看出，零阶浓度矩是代表浓度分布曲线与x轴所包围的面积，也就是全部扩散物质的质量，因此对任何时刻零阶浓度矩M0保持为常数。令μ为浓度分布曲线的重心距x轴坐标原点的距离，则

一阶浓度原点矩为随机变量C的数学期望（均值）。若将x轴坐标原点取在源平面处，此时一阶浓度原点矩为零，质量中心坐标μ＝0，浓度分布曲线是以通过x＝0的纵轴为对称轴。

令σ2为浓度分布的方差，则

方差是衡量浓度分布曲线扩展宽度的一种尺度。σ2越小，表示曲线趋于集中在均值附近。把浓度分布函数式（2－42）代入式（2－48）并积分可求得方差σ2和标准差σ：

上式说明方差是随时间t的增加而增大，时间愈久，扩散宽度愈大。图2－5所示为不同标准差的浓度分布形态。

图2－5　静止水体中瞬时点源不同标准差的浓度分布图(www.xing528.com)

因浓度分布曲线的标准差随时间而变，若将式（2－49）对时间求偏导数得

若在一个不长的时间间隔内，以差分代替微分，得到

若已知不同时刻的浓度分布，应用上式即可计算分子扩散系数值。从理论上讲，浓度分布曲线x轴向两端应延伸至无穷远处，但可以证明，在以对称轴为中心的分布宽度为4σ的范围内，分布曲线与x轴所围的面积可以达到总面积的95%，如图2－6及表2－3所示。所以从实用观点考虑，可认为其分布宽度等于4σ，如果坐标原点与源平面重合，则曲线的分布区间可认为是（－2σ，2σ），若坐标原点与源平面不重合而相距μ，则曲线的分布区间可认为是（μ－2σ，μ＋2σ）。

将标准差关系式（2－49）代入浓度公式（2－42），得到

图2－6　静止水体中瞬时点源扩散解的方差分布

表2－3　静止水体中瞬时点源扩散解的方差分布

例2－3　对于一维瞬时扩散点源，比率C／Cmax可以写成参数α的公式，使它满足x＝ασ。试运用该公式估算浓度曲线数据中的扩散系数D。

解：从前面的例子我们知道 ，因此我们可以将式（2－42）改写成

我们将和x＝ασ代入上式得到。这里α是一个参数，如取α＝1．0，即x＝σ，这时，。在标准化后的浓度曲线上找到的点并用他们度量σ值。然后我们可以根据和t的值估算扩散系数D。