中心差分算法的稳定条件-RADIOSS理论基础与工程应用

数学上，用数值积分方法求解系统运动方程时必须考虑解的稳定性条件。解的稳定性是指如果在任何积分时间步长△t条件下，对于任何初始条件的解不会发生无限制增长的现象，则称此积分算法是无条件稳定的；如果积分时间步长△t必须小于某个临界步长△t_cr，上述性质才能保持，则称此积分算法是条件稳定的。

易证明中心差分算法是条件稳定的，其稳定条件为

式中，T_min是有限元系统的最小固有振动周期。

实际上，并不需要求解整个系统的固有特征值问题以得到T_min，因为有限元系统的最小固有振动周期T_min总是大于或者等于最小尺寸单元的最小固有振动周期T_m(e_in)，其结果总是偏于安全的。

可以证明，有限元系统最小尺寸单元的最小固有振动周期T_m(e_in)为

式中，l_c是最小尺寸单元的最小特征长度，将在第16章展开该内容；(www.xing528.com)

由连续介质力学可知

式中，E、ρ是材料杨氏模量和质量密度。

这样，中心差分算法解的稳定性条件为

由此可见，有限元模型中最小尺寸单元将决定中心差分算法的时间步长选择。它的尺寸越小，将使t_cr越小，从而使整个积分步数增多，整个模型求解的计算时间增加。这一点在划分网格模型时一定要注意把握，避免因个别单元尺寸过小而导致计算时间不合理地增加。同时，也不能为了增大△t_cr而使单元的尺寸过大，这样将使有限元的解失真。