费米子、演生粒子与物质本质

圈量子引力理论从来都不是真正以万物理论为目标而建立的。如果理论物理学家证明它是一种可行的量子引力理论，那我们只能说它可以与现有的量子场论并列，共同描述物理世界——量子场论成功地描述了亚原子与亚原子核尺度的物理现象。

这句话说起来容易，但关于这到底意味着什么，又将如何操作，物理学家还完全不清楚。圈量子引力与标准模型的量子场论完全不同。后者描述的是假设有一个背景时空的情况下物质与力粒子的动力学过程，而前者则描述了演生出来的时空，因此这会给人一种感觉——圈量子引力最终会与标准模型理论发生交集。就像圈量子引力本身一样，标准模型应该也能以不需要背景时空的方式重新表述，虽然这一点并不意味着能将标准模型与引力理论统一起来，但谁知道呢？

用自旋泡沫来重新表述标准模型（而非依赖背景时空）可能有一个好处，就是让量子场论本身变得更为有序。人们一直以来都认为，如果能成功将时空量子化，或许有助于调节QED这样的理论，使其不再需要重正化。

为了理解这意味着什么，有必要回顾一下我们在第4章中提到的内容。在QED的方程中，有些项会因为电子与自身产生的电磁场相互作用而飙升至无穷大。重正化是一种数学上的修补办法，让无穷大的项彼此抵消，只留下在物理上有意义的预测结果。但如果无穷大的项从一开始就不会产生，那显然更好。不管怎样，无穷大只是一个纯数学上的概念，它在真实世界中并不存在。方程中出现了无穷大，就说明我们的数学描述在某些本质方面没有准确地描述现实。

这类问题在很早以前就出现过。古希腊哲学家埃利亚的芝诺就提出了一个著名的悖论：阿喀琉斯与乌龟赛跑，显然他们的能力有巨大的差距，因此荣誉感和公平感很强的阿喀琉斯决定让乌龟先跑，等到乌龟跑了一半路程以后他再开始追赶乌龟。看起来阿喀琉斯似乎肯定会赢，但根据逻辑，当阿喀琉斯跑到自己出发时乌龟所在的位置，乌龟显然又向前爬了一段，而等到阿喀琉斯跑过这段距离时，乌龟又向前爬了一小段了。以此类推，每当阿喀琉斯跑到乌龟上一个时间点所在的位置时，乌龟总是又往前爬了一小段，这么看，似乎阿喀琉斯永远都追不上乌龟。

芝诺悖论的核心在于“一条连续的线段可以被分为无穷多个点”，这是一个看似没有任何问题的观察结果。如果阿喀琉斯与乌龟之间有无穷多个点，那么似乎无论阿喀琉斯跑得有多快，他也不可能在有限的时间里追上乌龟。

找到这个问题的解答并不难：尽管一条连续的线段在数学上可以分成无穷多个点，但这并不意味着真实世界中的一段距离（或者一片面积、一块体积）也可以从物理上这样划分。在真实世界中，不存在无穷大这种东西。^[1]

这直接让我们想到，也许物质世界并不是连续而无限可分的，而是由离散的原子组成的。20世纪甫始，物理学家学到的第一个重要的结论，就是我们此前认为是连续的所有物理量——质量、辐射和能量——都是离散的。宇宙在本质上是由一个个小块和小点组成的。

如果把这套逻辑推向极致，我们就会得出这样的结论：空间（或时空）本身也不是连续和无限可分的。或许量子场方程中之所以会出现无穷大的量，以至于需要复杂的重正化技巧来消除（还不一定能消除），正是因为我们假设背后有一个连续的背景时空。

从这一方面，我们就能看到弦论和圈量子引力理论的前提假设之间真正的区别了。弦论从本质上来说是一个粒子物理理论，它尝试通过假设粒子不是无穷小的点粒子，而是延展的二维或是多维的物体，来消除无穷大的量带来的问题，因此，得到的就是连续时空背景下的一个关于弦的理论。为此，物理学家需要将额外的维度隐藏起来，还需要引入超对称这样的假设，以让该理论不那么难以驾驭。这消除了点质量带来的问题，但并没有解决连续时空假设带来的问题。在弦论中，阿喀琉斯仍然追不上乌龟。

与之相反，圈量子引力是一个关于时空几何形状本身的理论。它致力于通过将广义相对论与量子力学结合起来，表明时空是离散而非连续的，从而消除无穷大量。

这一想法听起来不错，但它对于大自然的影响并不仅仅在于时空的形状（以及无质量的引力子）方面。现实比这复杂得多。理论物理学家随后的任务，是把有质量的粒子融入这一图像中。既然所有物质都由费米子（夸克和轻子）组成，就意味着我们需要把自旋泡沫圈量子引力与费米子场耦合起来。

关于这一问题，李·斯莫林、卡洛·罗韦利和他们的同事早在20世纪80年代就有了想法，但边界方法在计算引力子传播函数方面的成功，使得理论物理学家决定更专注地寻找将费米子的量子场与自旋泡沫描述联系在一起的方法。虽然之前有人做过尝试，但该领域如今已经足够成熟，也许正是再次着手尝试的时机。

圈量子引力的研究者并未抱有不切实际的幻想。他们主要的关注点就是找到能将量子力学与费米子结合起来的办法。当时，关于与自旋泡沫相耦合的费米子理论在大尺度极限下是否会与标准模型量子场论相等价，还没有人清楚。换句话说，理论物理学家自己也不能确定将电子与自旋泡沫耦合起来能否在大尺度极限下产生QED。“现在我们能完成这个任务吗？”罗韦利设问，“不完全能。有无数的暗示表明理论在大尺度极限下应该能得到正确的结果，但计算过程仍然极为烦琐，情况十分复杂。”1

而且，就算理论在大尺度极限下得到的结果是对的，用自旋泡沫圈量子引力来计算确立已久的结果（如QED预言的电子的g因子），其意义也有限。罗韦利解释道：“没有人会认为通过重新计算布鲁克林桥的稳定性来检测广义相对论是有意义的，因为用牛顿力学会得到同样的结论。”2

他的说法当然是对的，但有必要指出，广义相对论在平直时空和低速的条件下确实能还原成牛顿引力理论——这就是爱因斯坦的一致性原则。因此，如果自旋泡沫圈量子引力不能还原到QED，这个理论就是可疑的。我猜，物理学家永远希望能将一个普朗克尺度下的理论的适用范围外推至量子场论的亚原子核和亚原子尺度，并从中获得一些新的解释——在离散、演生的时空中理解夸克与电子的行为。然而，实际上，17个数量级的差异表明，这一希望哪怕确实存在，也极其渺茫。

罗韦利与马赛理论物理学中心的欧金尼奥·比安基（Eugenio Bianchi）、韩慕辛和沃尔夫冈·威兰（Wolfgang Wieland），以及宾夕法尼亚州立大学的埃莱娜·马利亚罗（Elena Magliaro）和克劳迪奥·佩里尼（Claudio Perini）合作，研究出了如何将费米子场融入自旋泡沫中，论文发表于2013年。这一方法“出人意料地简单”。3从某种程度上讲，这些理论物理学家只是复制了将费米子与QCD格点相结合的方法，并利用了自旋泡沫在边界处趋向于时空点的动态晶格这一点。难点在于找到最好的方法来写出费米子的作用量（即描述一个费米子从一处到另一处的物理量），而他们最终成功找到了一种数学技巧来完成这件事。

其结果是，他们建立了一种引力与费米子相互作用的量子理论。

费米子的性质由一种叫作“CPT对称”的对称性所主宰。“C”代表电荷共轭：如果一个粒子的物理学性质在C对称性变换下不变，意味着将其电荷换成大小相等、符号相反的电荷（也就是说，用对应的反粒子来代替该粒子）以后，该粒子的性质不会发生改变。“T”代表时间反演：在描述该粒子动力学过程的方程中将t换成可t。虽然在我们的经验里，时间只会沿着一个方向流动，但物理学方程一般不管时间往哪个方向流动——不管事件是顺序发生还是倒序发生，方程都不变（我们称这种情况为物理学定律在T对称性反演下不变）。

“P”代表的则是宇称变换或宇称反演，关于这一点我需要多解释一下，让我们先从粒子描述转为波动描述。想象一道正弦波，它上下振荡，最高点是波峰，最低点是波谷。波函数的一半振幅是正的（在它从原点升向最高点又回来的过程中），一半振幅是负的（在它沿着轴向下降到波谷又回来的时候）。波函数的宇称描述的就是，如果我们改变所有的空间坐标轴的正反符号（即颠倒左右、上下、前后），会不会改变这道波的传播方向。同时改变三条坐标轴的方向，相当于把这道波变成了它在一面镜子中的倒影，它的视角也变了——左变成右，上变成下，前变成后。

如果波函数在这样一面“宇称之镜”中的倒影与原本的波函数振幅相同，我们就说这个波函数具有偶宇称；如果镜中的倒影与原本的波函数振幅相反，我们就说这个波函数具有奇宇称。（如图22所示。）

图22　一个物体在宇称之镜中的倒影可能有两种结果：（a）左边的钟在每个方向上都与右边镜中的钟完全对称，在这种情况下宇称守恒；（b）左边的钟与右边镜中的钟并没有完全对称，在这种情况下宇称不守恒

同自旋一样，“宇称”这一概念在经典物理学中找不到太好的类比例子来帮助我们理解。它与基本粒子相互作用中的角动量密切相关，并深刻影响着它。直到20世纪50年代末，物理学家发现的所有相互作用中宇称和角动量都是守恒的。换句话说，如果发生相互作用的所有粒子的总宇称是偶宇称，那作用之后得到的所有粒子的总宇称也是偶宇称。总宇称为奇的粒子同样如此。

这看起来是符合物理学家的直觉的。自然界的不变法则，怎么可能会偏向左右、上下、前后中的一个呢？回想一下，罗杰·彭罗斯在发展出自旋网络的数学形式之前问了这样一个问题：一个电子怎么会知道哪个方向是“上”呢？无疑，大自然的作用力是不可能偏向左手性和右手性中的任何一个的。

这样的推理看起来很合理，然而，这不符合物理学家观察到的实际现象。在所有电磁力、引力与强色力相互作用中，宇称都守恒，但20世纪50年代中晚期科学家进行的一系列实验表明，在弱相互作用中，大自然似乎更偏爱某一种“手性”实际上，通常来讲，只有左手性的粒子和右手性的反粒子能进行弱相互作用。^[2]

这一结果震惊了很多老一辈的理论物理学家，比如泡利。就在得知实验结果的几天前，他还写信对朋友说：“我不相信上帝是个弱左撇子，我愿意押一大笔钱赌实验会给出对称的结果。”4幸运的是，他最终并没有投注，因为他后来承认道：“这会让我输一大笔钱（我可损失不起）。”5

最困扰泡利的不是为何弱相互作用偏爱左手性，而是为何强相互作用没有显示出这种偏爱。区别在哪里？

这种左手性和右手性统称手性（chirality）。科学家曾以为，虽然电荷共轭和宇称守恒分别在一些粒子相互作用中会被破坏，但它们结合而产生的CP对称性仍然总是守恒的。然而，1964年普林斯顿大学的物理学家詹姆斯·克罗宁（James Cronin）和瓦尔·菲奇（Val Fitch）在布鲁克海文国家实验室做的实验表明，在中性K介子（一种由下/反奇异夸克和奇异/反下夸克混合形成的介子）发生的某种衰变过程中，CP对称性也被破坏了。我们只有再加上时间反演对称性，才能让自然再次回到正常的状态。CPT对称性的组合才是永远不被破坏的对称性。

没有人知道为什么会这样。

韩慕辛与罗韦利证明，在与自旋泡沫相耦合时，费米子传播函数的CPT对称性不变，这与我们的要求相符。他们发现，边界行为可以通过自旋泡沫振幅中嵌入的费曼图简单地描述。毋庸置疑，费米子场相互作用的物理规律也能以同样的方式显现出来，也就是说，原本被认为只能在背景时空中运作的量子场，也能在自旋泡沫的海洋中自然存在。

然而，还有一个问题。森与阿什特卡已经选定了原始的自旋变量以反映手性，因此原则上将手性费米子引入自旋泡沫圈量子引力理论是可以的。然而，一旦费米子场被固定在格点上，它们的行为就变得很异常，显现出一种不自然的费米子加倍（fermion-doubling）现象：出现了奇怪的镜像态，每个原本左手性的费米子在每个空间维度方向上都产生了一个右手性的镜像。

格点QCD中也有这个问题。格点QCD中有一条强大的止步定理，这条定理由丹麦物理学家霍尔格·尼尔森和日本物理学家二宫正夫提出，表明只有左手性与右手性费米子的耦合强度相等时，自由费米子在离散格点模型中才能得到连续的结果。然而，弱相互作用只青睐左手性费米子，因此耦合强度不可能相等。在格点QCD中，理论物理学家引入了多种应变方法来除掉额外的费米子，以绕过该问题，比如人为破坏手性对称，把镜像粒子推向一个更高的能量范围，使其不再发生耦合，从而影响理论计算。

韩慕辛与罗韦利考虑了这些应变方法中的一部分。虽然有一些问题，但总体来说他们还是乐观的。“在我们看来，这条路不是毫无希望的，原因如下：将自旋泡沫模型中所有的几何形状加起来，加倍的费米子就互相抵消了，就像随机点阵中的情况一样，因此这一思路是有希望的。”6但斯莫林并不同意这一点，他指出，费米子加倍的现象在随机点阵中也会出现。

2015年，斯莫林与雅各布·巴尼特（Jacob Barnett）在圆周理论物理研究所合作，详细探究了费米子加倍的现象，证明原本的正则圈量子理论无法解决这个问题，因此无法用来描述手性费米子。7他相信，这是圈量子引力理论在描述自然方面的主要障碍之一。“关于在自旋泡沫模型中如何解决这一难题，我们有一些想法，”他解释道，“但还没有攻克它。”8这仍然是个悬而未决的问题。

这类问题迫使理论物理学家停下来，仔细思考他们正在使用的数学工具。但这些问题也让我们怀疑，或许我们完全不了解这些粒子的本质。或许这些问题的存在并不是因为我们数学技巧不足，而是在提示我们，关于物质实体的本质，还有更多我们没有掌握的奥秘。

前文提过，圈量子引力理论是由互相连接的力圈形成自旋网络而构建出来的，其节点表示体积量子所在的交叉点，连接则表示相邻节点交界处形成的表面，即面积量子。如果我们回到由闭合的圈形成的空间这一想法，费米子就可以看成开放的圈，其自旋量子数为1/2。斯莫林解释道：“在该理论发展的早期，最激动人心的时刻就是我们讨论费米子如何从自旋网络中的自由端或小孔处演生出来的时候。”9(www.xing528.com)

如果力线不形成闭合的圈，它们的起点和终点就必须有电荷（正电荷或者负电荷）或者色荷（红、绿或蓝）。这一想法看起来有些熟悉：在弦论的早期版本里，物质粒子就由开放的弦来表示。其实，到这个程度，既然弦论和圈量子引力都是在力线的模型上建立起来的，它们很显然基本上是从同一点出发的，不同的是下一步往哪个方向走，以及做出哪些假设。

开放的圈在自旋网络上以一个额外的-1/2自旋的“面”的形式存在，将物质粒子紧紧地捆绑在演生时空的结构上。这种景象不禁让人回想起惠勒和米斯纳设想过的图像。他们1957年提出，带电的粒子可能只是电场线穿过普朗克尺度的虫洞，形成假想中的隧道，将时空中不同的点串在一起。^[3]他们想象这些力线在一个虫洞中消失，在另一个虫洞中重现，力线其实形成了闭合的圈，但因为它们总是在这里消失，在那里重现，看起来就像是开放的圈。换句话说，通过这个假设，物质粒子可以完全只通过引力导出。

惠勒将这一想法称为“已统一理论”。10与其努力统一引力与电磁力（这是爱因斯坦多年来尝试却徒劳无功的事），为什么不干脆假设电子自身就是时空本身的基本属性呢？这样的话，理论就会变得十分简洁而优雅。

斯莫林于1994年证明，从广义上来讲，将广义相对论与费米子耦合起来的理论，与不包含物质但容许某种极简主义虫洞存在的理论是完全等价的。就背后的物理学机制而言，电子与虫洞完全是同一件事。在后来关于自旋泡沫费米子的工作中，这一结论已显而易见了。2013年，罗韦利与同事提到，在某些固定的时间，费米子圈是非局域性的——它在时空中的一部分消失，又在一个遥远的点重现。

这听起来可能很奇怪，但费米子与引力物体的关联似乎比我们想象中的还要深。我在第2章提到过德国数学家卡尔·施瓦西找出了爱因斯坦引力场方程在大尺度、不带电、非旋转的球对称条件下的一系列解。这些解承认了黑洞存在的可能性，被称为施瓦西黑洞。如今，我们知道黑洞解共有4种，其中一种适用于旋转、带电的情况，以新西兰数学家罗伊·克尔（Roy Kerr）和美国物理学家特德·纽曼的名字命名。

有趣的事情出现了。克尔-纽曼黑洞的g因子恰好等于2，与QED中应用辐射修正之前的“狄拉克电子”等价。虽然我们如今倾向于认为黑洞起源于大型天体（如恒星）的引力坍缩，但理论并没有排除微观黑洞存在的可能性。^[4]当然，我们有各种各样的理由认为电子是克尔-纽曼黑洞的这一想法不靠谱，但这种巧合恰恰是理论物理学家获得灵感所需要的。有些人认为，这一巧合反映，“量子理论与广义相对论在深处是同源的”。11

不管理论物理学家以何种方法让费米子从引力线中诞生，哪怕实现了这一点，离解释构成粒子物理标准模型的三代物质粒子、力粒子和希格斯玻色子也很远。不过，斯莫林有一天偶然读到了阿德莱德大学一位年轻的澳大利亚理论物理学家森丹斯·比尔森-汤普森（Sundance Bilson-Thompson）发布的预印本论文，感觉这篇论文的思路或许可以构建让标准模型粒子从自旋网络的扭曲与交缠中演生出来的理论。

如今，斯莫林仍然把全部精力投入圈量子引力理论，从中挖掘可以检验的预言，但他无穷无尽的精力和对新知的渴望经常会带领他进入更新的领域。他当然对将圈量子引力变为一个更有预测性的理论的具体细节感兴趣，也孜孜不倦地投身于做出能被实验检验的理论预测（这是科学方法的核心），他在这方面的重要角色毋庸置疑。2006年，斯莫林的《物理学的困惑》与哥伦比亚大学数学物理学家彼得·沃伊特的《连错误都算不上》（Not Even Wrong）两本书几乎同时出版，两本书都激烈地批判了超弦理论及其文化，引起了一场“超弦战争”。斯莫林本性不喜欢冲突和对抗，但也不可避免地卷入了一系列关于科学的本质以及未来的理论物理学的争论之中。12

但同时，斯莫林更关心的是，一个以基本量子的形式描述空间的理论将如何讲述最深层面的物理现实的本质。他并不讨厌形而上学本身，甚至更愿意投入其他人不愿投入的思考当中。量子力学与广义相对论这两个已经被广泛接受的理论构成了我们关于物理现实的“权威”描述，它们自身一开始很可能也是因形而上的思考而诞生的。但这些思考与经验上可观察的结果联系在一起，因此它们是科学的。

随着几代夸克的存在证据越来越多，一些理论物理学家不可避免地开始思考它们会不会是由更基础的东西组成的。还有一些理论物理学家希望找到一些方法，把这些不同种类的夸克与轻子统一起来，视之为同一组物质基本单元组成的不同复合体，这组物质基本单元被称为“前夸克”（prequark）或“前子”（preon）。

1979年，加州斯坦福直线加速器中心的哈伊姆·哈拉里（Haim Harari）与伊利诺伊大学香槟分校的迈克尔·舒普（Michael Shupe）各自独立发表了一个只包含两个粒子与两个反粒子的前子模型。它们的自旋为1/2，电荷分别为0和1/3，可以用它们来构建第一代夸克（上夸克、下夸克）和轻子（电子、电子中微子）以及对应的反粒子。第二代、第三代夸克与轻子可以解释为第一代夸克的能量更高（即质量更大）的状态。

这个系统看起来可能很人为，很不自然，它也确实如此，可包含味、色且拥有令人难以想象的分数电荷的原始夸克模型也没有比它更自然。

比尔森-汤普森将基于点粒子的哈拉里-舒普模型变成了一个拓扑学“玩具模型”，用三种“丝带”以不同方式编织形成的图作为基础。一条丝带可以带电（对应于哈拉里的T），也可以为电中性（V），而传递力的玻色子则没有经过编织。第二代和第三代粒子只是编织方式比第一代更为复杂一些。比尔森-汤普森发展的这一模型比哈拉里-舒普的原始模型更简单，而且有额外的好处：丝带既可以向左编织，也可以向右编织，可以形成两种镜像对称的图像，从而为手性提供了基础。

关于这种丝带到底是什么，比尔森-汤普森没有给出解释，不过他“不太认真地提到它们可能是彼此缠绕在一起的微虫洞”。14

斯莫林后来承认：“在读到这篇文章的第一时间，我就知道这就是那缺失的一环，因为比尔森-汤普森研究的这种‘编织’完全可以出现在圈量子引力中。”15在第8章中我们提过，在1986年2月圣巴巴拉晴朗的一天，斯莫林与雅各布森首次发现了广义相对论场方程的自旋联络表述的精确解。斯莫林知道比尔森-汤普森的“编织的丝带”正可以被看作这种精确解，因而提出了一个令人震惊的假设：标准模型中所有的粒子都表现为引力线不同的扭曲和编织方式。

“我们在1987年就知道编织了，”斯莫林承认，“但我们从来没想过它会与某种物理实体联系在一起。”16几年后，在完成了“连接性”论文并与马科普洛合作之后，他关于如何从圈到可以编织和扭曲的丝带有了更好的想法。

设想粒子从时空本身中诞生，是同时实现惠勒的“已统一理论”和19世纪开尔文爵士认为原子是“以太的纽结”的观点的最终方法。但这要如何实现呢？斯莫林与马科普洛邀请比尔森-汤普森来合作，他们三人进一步优化了这一模型，让三种丝带变成一张自旋网络与一套普通节点集之间的三种连接。17比尔森-汤普森在其模型中引入的电荷可以用连接向一个方向扭曲（1/3正电荷）或向另一个方向扭曲（1/3负电荷）来代替。

让形成上夸克的三条丝带中的两条扭曲起来，就得到了+2/3的总电荷。鉴于在三条丝带里选择两条丝带扭曲有三种情况（可能扭曲第一条和第二条、第一条和第三条，或者第二条和第三条），而这就对应于三种不同色的夸克。类似的逻辑可以用在下夸克上。至于电子，因为只有三条丝带都扭曲才能形成-1的总电荷，因此不可能形成不同的色。不带电的粒子，如电子中微子与反中微子，则不包含扭曲。

丝带之间也可以“编织”起来。从左到右、先下后上的编织图案表示左手性粒子，从右到左先下后上的编织图案表示右手性粒子。这样不会形成镜像图案，斯莫林认为采用了这种方法，理论物理学家就不会遇到费米子加倍的问题了。

只用两种不同的扭曲和两种交叉编织方式，形成的一系列“编织态”就足以解释组成标准模型的第一代粒子。图23（a）展示了描述上夸克、下夸克和电子的图案，左列是比尔森-汤普森原始的图案，右列则是由量子引力导出的图案。图中只画出了一种色的夸克，且所有粒子都是左手性的。

编织态的构造方式决定了电子中微子只能是左手性的，反电子中微子只能是右手性的，这与粒子相互作用的观测结果相符，如图23（b）所示。理论物理学家猜想，第二代和第三代粒子或许也包含类似的编织结构，只是相互之间的交叉更多。

当然，还有很多现象是这种图像所不能解释的，比如粒子的质量，因此研究人员在最开始的激动之后，马上开始了更冷静的分析。关于第二代和第三代粒子或许也能用类似编织结构来描述的猜测被证明是不可靠的，理论物理学家无法建立能描述它们的简单编织结构。还有人觉得第一代的编织结构有些过于稳定，使得演生粒子可以在时空中传播，却不能相互作用。为了解决这一问题，比尔森-汤普森、芝加哥的路易斯·考夫曼和圆周理论物理研究所的乔纳森·哈克特（Jonathan Hackett）已经着手研究一些更复杂的模型。

图23　斯莫林与马科普洛将比尔森-汤普森的拓扑玩具模型［（a）与（b）的左列］变成了圈量子引力中一个包含引力线的编织与扭曲的系统［（a）与（b）的右列］

这些尝试成功的希望不大。不管怎么样，圈量子引力理论远称不上是关于演生时空的完善理论，其中有很多问题尚未得到解决。通过自旋网络来同时描述时空和物质以及力粒子，仍然只是一种迷人的可能性。如果你能在有一些真正的新见解的情况下将它圆满完成，这就会是一种出色的数学技巧。

不过，就截至目前的证据而言，它还说不上是种科学理论，更像是一种魔法。

【注释】

[1]芝诺悖论还有另外一个“解决”方法，即阿喀琉斯每次要追赶的新增距离都变得越来越短，而我们知道这种越来越短的增量之和是一个有限的值，意味着阿喀琉斯完全能在有限的时间内跨过这段距离。但这是一个纯粹的数学论证：为了弥补将有限距离分成无限多段的“不自然”的数学划分所带来的问题，我们引入了另一个“不自然”的无穷多项之和来弥补。

[2]在β放射性衰变中，一个下夸克转变成一个上夸克（将一个中子转变为一个质子），放出一个W-粒子，w-粒子进一步衰变成一个左手性的电子和一个右手性的电子反中微子。

[3]虫洞还是假想中的概念，因为从来没有人看见过虫洞（或者更准确地说，从来没有人观察到确定无疑的、只能由虫洞的存在解释的物理效应）。但它确实可以根据爱因斯坦广义相对论场方程的真实的解导出。

[4]在LHC于2009年首次运行之前，就有人担心高能质子-质子碰撞会创造出微型黑洞，从而导致世界末日。不过，我们已经看到，LHC在过去的10年里一直在长时间运行，据我所知，世界末日并没有出现。

[5]前文说过，粒子遇到它们对应的反粒子时会瞬间湮灭。