离散数学：群的同态与同构

同态：设代数系统＜X，*＞和＜Y，▯＞是同类型的，若存在映射f：X→Y，使得对任意的x，y∈X，有f（x*y）=f（x）▯f（y），则称f是＜X，*＞到＜Y，▯＞的同态映射，简称同态，记为＜X，*＞⋍＜Y，▯＞.

满同态、单同态映射、同构：若f是代数系统＜X，*＞到＜Y，▯＞的同态映射，则

（1）如f为满射，称f是＜X，*＞到＜Y，▯＞的满同态映射.

（2）如f为单射，称f是＜X，*＞到＜Y，▯＞的单同态映射.

（3）如f为双射，称f是＜X，*＞到＜Y，▯＞的同构映射，记为＜X，*＞≅＜Y，▯＞.

自同态、自同构：若f是代数系统＜X，*＞到＜X，*＞的同态映射，则称f是自同态.若f是＜X，*＞到＜X，*＞的同构映射，则称f是自同构.

定理7.35　若＜G，*＞＜H，▯＞，f为其群同态映射，则

（1）f（eG）=eH，其中eG和eH分别为群G和群H的幺元.

（2）对任意的a∈G，有（f（a））-1=f（a-1）.

（3）若＜S，*＞是＜G，*＞的子群，f（S）=｛f（a）|a∈S｝，则＜f（S），▯＞是＜H，▯＞的子群.

定理7.36　给定群＜G，*＞和代数系统＜H，▯＞，若存在从群＜G，*＞到代数系统＜H，▯＞的满同态映射，则＜H，▯＞为群.

同态核：若f是群＜G，*＞到群＜H，▯＞的群同态映射，eH为群＜H，▯＞的幺元，令Kf=｛k|f（k）=eH∧k∈G｝，称Kf为群同态映射f的核，简称f的同态核.

定理7.37　若f是群＜G，*＞到群＜H，▯＞的群同态映射，则f是单射⇔Kf=｛eG｝.

定理7.38　若f是群＜G，*＞到群＜H，▯＞的群同态映射，则＜Kf，*＞是＜G，*＞的正规子群.

定理7.39　若＜K，*＞是群＜G，*＞的正规子群，则

（1）在G/K中定义运算Δ为：xKΔyK=（x*y）K，则G/K在运算Δ下为群，称＜G/K，Δ＞为G对K的商群.

（2）定义映射g：G→G/K，g（x）=xK，则g是具有核K的同态映射，称为从群G到商群G/K的自然同态.

定理7.40（同态基本定理）　若f是群＜G，*＞到群＜H，▯＞的同态映射，则＜G/Kf，Δ＞≅＜f（G），▯＞.

定理7.41　若＜G，*＞是循环群，g是其生成元，有

（1）若g的周期无限，则＜G，*＞≅＜Z，+＞.

（2）若g的周期为m，则＜G，*＞≅＜Zm，+m＞.

该定理说明，循环群只有两类.

重点

1.运算性质的判断，确定特殊元素：幺元、零元和逆元.

2.证明代数系统为群或子群.

3.阿贝尔群和循环群的性质.

4.拉格朗日定理及其应用.

5.代数系统的同态与同构.

难点

1.证明代数系统为群或子群.

2.拉格朗日定理的应用.

3.证明代数系统的同态与同构.

例题解析

例7.1　设A=Q×Q，Q为有理数集，在A上定义二元运算*满足：＜a，b＞*＜x，y＞=＜ax，ay+b＞.

（1）运算*是否满足交换律和结合律？是否满足幂等律？

（2）关于运算*是否有幺元和零元？如果有，请指出，并求A中所有可逆元素的逆元.

【分析】这需要利用相应性质的定义判断.证明一个性质是否成立，需要验证对A中所有的元素都成立该性质，否则只需要找出一个反例即可.如要证明*满足交换律，需要证明对对任意＜x，y＞，＜a，b＞，有＜a，b＞*＜x，y＞=＜a，b＞*＜x，y＞.如果能找到两个＜a，b＞，＜x，y＞使得＜a，b＞*＜x，y＞≠＜a，b＞*＜x，y＞，则运算*不满足交换律.

找幺元、零元和某元素的逆元时，可用待定系数法.如＜a，b＞是运算*的幺元，则它应该满足对任意＜x，y＞，＜a，b＞*＜x，y＞=＜a，b＞*＜x，y＞=＜x，y＞，即＜ax，ay+b＞=＜x，y＞.由此得到关于a和b的方程ax=x，ay+b=y，求出a=1和b=0，然后正式验证＜1，0＞确实满足单位元的要求即可.

解：

（1）因为＜0，0＞*＜1，1＞=＜0，0＞，＜1，1＞*＜0，0＞=＜0，1＞，则有＜0，0＞*＜1，1＞≠＜1，1＞*＜0，0＞，所以运算*不满足交换律.

因为（＜a，b＞*＜x，y＞）*＜u，w＞=＜ax，ay+b＞*＜u，w＞=＜axu，axw+ay+b＞，＜a，b＞*（＜x，y＞*＜u，w＞）=＜a，b＞*＜xu，xw+y＞=＜axu，axw+ay+b＞，所运算*满足结合律.

因为＜1，1＞*＜1，1＞=＜1，2＞≠＜1，1＞，所以运算*不满足幂等律.

（2）因为＜a，b＞*＜1，0＞=＜a，b＞，＜1，0＞*＜a，b＞=＜a，b＞，所以关于运算*存在幺元＜1，0＞.不存在零元.

对于任意的＜a，b＞∈A，若a≠0，则其逆元为＜＞，这是因为＜a，b＞*＜＞=＜1，0＞=＜＞*＜a，b＞.(https://www.xing528.com)

例7.2　设＜G，*＞是一代数系统，运算*满足交换律和结合律，且a*x=a*y⇒x=y，证明：若G有限，则G是一群.

【分析】要验证这个代数系统是一个群，还需要先证明关于运算*有一个幺元，每个元素关于运算*有逆元.

证明：

因G有限，不妨设G=｛a1，a2，…，an｝.任取a∈G，由a*x=a1*y⇒x=y得，若x≠y，则a*x≠a*y.于是可证，有aG=G即a∈aG.又因为运算*满足交换律，所以aG=G=Ga.令e∈G使得a*e=a.

下证e是关于运算*的幺元.对任意的b∈G，因为aG=G，故b∈aG.令c*a=b，则b*e=（c*a）*e=c*（a*e）=c*a=b，再由运算*满足交换律得e*b=b，所以e是关于运算*的幺元.

再证对任意b∈G关于运算*有逆元.由bG=G可知，存在c∈G使得b*c=e，再由运算*满足交换律得c*b=e，所以c是b的逆元.故G中每个元素都存在逆元.故G是一群.

例7.3　给定群＜G，*＞，若对G中任意元a和b，有a3*b3=（a*b）3，a4*b4=（a*b）4，a5*b5=（a*b）5，试证＜G，*＞是Abel群.

【分析】如要证明*满足交换律，需要证明对任意a和b，a*b=b*a.在本题中还需要用到关于群的运算*满足可约律.

证明：

对G中任意元a和b.因为a3*b3=（a*b）3，所以a*（a2*b2）*b=a*（a*b）2*b，即得a2*b2=（b*a）2.同理，由a4*b4=（a*b）4可得，a3*b3=（b*a）3.由a5*b5=（a*b）5可得，a4*b4=（b*a）4.

于是（a3*b3）*（b*a）=（b*a）4=a4*b4，即b4*a=a*b4.同理可得，（a2*b2）*（b*a）=（b*a）3=a3*b3，即b3*a=a*b3.

由于（a*b）*b3=a*b4=b4*a=b*（b3*a）=b*（a*b3）=（b*a）*b3，故a*b=b*a.

例7.4　设＜G，*＞是群，a，b，c∈G，且ab=cba，ac=ca，bc=cb.证明：若a，b的阶分别为m，n，则c的阶整除m与n的最大公因数（m，n）.

【分析】因为两个数的公因数一定能整除它们的最大公因数，所以只需要证明c的阶能同时整除m和n就可以了.而要证明c的阶能整除m，只需证明cm=e.

证明：

由于c与a，b均可交换，且ab=cba，对此等式右乘n-1次b，可得abn=（cba）bn-1=（cb）（ab）bn-2=（cb）2（abn-2）=…=（cb）na=cnbna.从而a=cna，即cn=e.同理，左乘m-1次a，得amb=am-1cba=cam-1ba=cam-2（ab）a=cam-2（cba）a=c2（am-2b）a2=…=cmbam.因此cm=e.由于c的阶是k，所以k|m，k|n，即k|（m，n）.

例7.5　设Z是关于加法的整数群，H是5的倍数组成的Z的子群.证明H是Z的一个正规子群，并求商群Z/H.

【分析】因为已知H是子群，所以只需证明H是Z的正规子群.而一般情况下，还需要证H是子群（特别要注意H必须是非空的）.关于正规子群的充要条件有很多，可以选用比较方便的那一种即可.

解：

对任意的g∈Z，h∈H，有g+h+g-1=g+h+（-g）=h∈H，故＜H，*＞是＜Z，*＞的正规子群.（事实上由于整数加法运算是可交换的，故对任意的g∈Z，gH=Hg，所以H是Z的正规子群.）

令H=｛，…，-10，-5，0，5，10，…，｝，

1H=｛，…，-9，-4，1，6，11，…，｝=H1，

2H=｛，…，-8，-3，2，7，12，…，｝=H2，

3H=｛，…，-7，-2，3，8，13，…，｝=H3，

4H=｛，…，-6，-1，4，9，14，…，｝=H4，

则Z/H=｛H，1H，2H，3H，4H｝.

例7.6　设＜G，*＞是15阶循环群.（1）求出G的所有生成元；（2）求出G的所有子群.

【分析】设a是G的生成元，则|a|=|G|.与a同阶的元素都可以成为G的生成元.而b=ak与a同阶的充要条件是k与|a|互素.而且G的子群都是循环群，且它至多只有一个m阶子群，m是|a|的整因子.所以本题只需在1-14之间找出与15互素的整数，然后找出15的所有整因子.

解：

（1）因为在1-14之间与15互素的整数有1、2、4、7、8、11、13、14，故G的所有生成元为：a，a2，a4，a7，a8，a11，a13，a14.

（2）15的整因子有1、3、5、15，故G有一个1阶子群＜e＞=｛e｝；一个15阶子群它本身＜a＞=G；一个5阶子群，其生成元是a3，＜a3＞=｛e，a3，a6，a9，a12｝；一个3阶子群，其生成元是a5，＜a5＞=｛e，a5，a10｝.

例7.7　设h是群G上的一个同态映射，|G|=12，|h（G）|=3.

（1）求|K|，其中K是h的核.

（2）h将G中多少个元素映射到h（G）的每个元素？

（3）求|G/K|.

【分析】由群同态基本定理，G/K≅h（G）.故|h（G）|=|G/K|.而根据拉格朗日定理，|G|=|K|×|G/K|由于K=｛g|g∈G且h（g）是上h（G）的单位元｝，所以h将G中|K|个元素映射到h（G）的每个元素.

解：

由群同态基本定理的推论，|G/K|=|h（G）|=3，|K|=|G|/|G/K|=12/3=4.所以h将G中4个元素映射到h（G）的每个元素.

例7.8　设＜H，*＞和＜K，*＞分别是群＜G，*＞的r阶和s阶子群，若r和s互素，证明H∩K=｛e｝.

【分析】由拉格朗日定理，有限群的每个子群的阶都是该有限群的阶的因子.

证明：

易证＜H∩K，*＞也是＜H，*＞和＜K，*＞的子群，从而由拉格朗日定理知，子群的阶是群的阶的因子，从而|H∩K|整除r，也整除s.因为r和s互素，所以|H∩K|=1，故H∩K=｛e｝.