交换律：设＜S，*＞是一个代数系统，若对任意的x，y∈S有x*y=y*x，则称二元运算*是可交换的，或说*满足交换律.
结合律：设＜S，*＞是一个代数系统，若对任意的x，y，z∈S有（x*y）*z=x*（y*z），则称二元运算*是可结合的，或说*满足结合律.
分配律：设代数系统＜S，*，⊙＞，对任意x，y，z∈S，若x*（y⊙z）=（x*y）⊙（x*z），则称*对⊙满足左分配律；若（y⊙z）*x=（y*x）⊙（z*x），则称*对⊙满足右分配律；若两者都满足，则称*对⊙满足分配律.
吸收律：设＜S，*，▯＞是一个代数系统，对任意的x，y∈S，若x*（x▯y）=x，则称*对▯满足左吸收律；若（x▯y）*x=x，则称*对▯满足右吸收律；若两者都满足，则称*对▯满足吸收律.
幂等律与幂等元：设＜S，*＞是一个代数系统，若对任意的x∈S有x*x=x，则称*是幂等的，或说*满足幂等律.若a∈S，使得a*a=a，则称a是幂等元.
幺元（单位元）：设代数系统＜S，*＞，且存在el，er，e∈S，对任意x∈S，若el*x=x，则称el是S中关于*的一个左幺元；若x*er=x，则称er是S中关于*的一个右幺元.若e关于*既是左幺元又是右幺元，则称e为S中关于*的幺元（单位元）.
定理7.1 设＜S，*＞是一个代数系统，el，er分别为S中关于*的左幺元和右幺元，则有el=er=e，且e是S中关于*的唯一的幺元.
零元：设代数系统＜S，*＞，且存在θl，θr，θ∈S，对任意的x∈S，若θl*x=θl，则称θl是S中关于*的一个左零元；若x*θr=θr，则称θr是S中关于*的一个右零元.若θ关于*既是左零元又是右零元，则称θ为S中关于*的零元.(www.xing528.com)
定理7.2 设＜S，*＞是一个代数系统，θl，θr分别为*的左零元和右零元，则有θl=θr=θ且θ是S上关于*的唯一的零元.
定理7.3 设＜S，*＞是一个代数系统，|S|＞1，若存在幺元e和零元θ，则e≠θ.
逆元：设代数系统＜S，*＞，e是S中关于*的幺元.对于x∈S，若存在yl∈S使得yl*x=e，则称yl是x的左逆元；对于x∈S，若存在yr∈S使得x*yr=e，则称yr是x的右逆元.对于x∈S，若存在y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元，通常记为x-1.
定理7.4 设＜S，*＞是一个代数系统，e为其幺元，*是可结合的，则（1）若一个元素x的左逆元xl和右逆元xr存在，则xl=xr；（2）若一个元素x的逆元x-1存在，则x-1是唯一的.
可约律与可约元：设代数系统＜S，*＞，θ为S关于*的零元，若对任意的x，y，z∈S，x≠θ，x*y=x*z，有y=z，则称*满足左可约律，x是关于*的左可约元；若对任意的x，y，z∈S，x≠θ，y*x=z*x，有y=z，则称*满足右可约律，x是关于*的右可约元.若两者都满足，则称*满足可约律，x是关于*的可约元.
定理7.5 设＜S，*＞是一个代数系统，且*是可结合的.若x关于*可逆且x≠θ，则x也是关于*的可约元.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
