定理6.17 若p是素数，则p a当且仅当（p，a）=1.
定理6.18 若a，b1，b2都是正整数，且（a，b1）=1，则有（a，b1b2）=（a，b2）.一般地，若a和b1，b2，…，bn都是正整数，n≥2，且（a，b1）=（a，b2）=…=（a，bn）=1，则（a，b1b2…bn）=1.
重点和难点
素数的性质和判断；带余除法；整数分解定理.
例题解析
例6.1 一个自然数a除63、91、291所得的余数之和为10，求a.
【分析】利用带余除法.所以a除63、91、291所得的余数都大于等于0且分别小于62、90和290.但由于这些余数之和为10，所以它们都不会超过10，但根据鸽巢原理，最大的一个余数一定不小于4.故a也不小于4且不大于63.从而根据整数分解式，可得到a可能的值.
解：
设63=q1a+r1，91=q2a+r2，291=q3a+r3.由题设可得r1+r2+r3=10，则r1，r2，r3必有某一个大于3.因为445=（q1+q2+q3）a+10，则（q1+q2+q3）a=3·5·29，故3＜a＜63.由上式知a∈｛5，15，29｝，经验证可知a=15或a=29.
例6.2 （1）利用辗转相除法求（24871，3468）.
（2）用24871和3468的线性组合表示（24871，3468）.
【分析】先把绝对值大的数用绝对值小的数相除，得到一个余数.然后把绝对值小的数用该余数相除得到一个新的余数，对这样两个余数进行同样的分解，直到余数为零.要把最大公因数表示成两个数的线性组合，应该从刚才最后一个带余除法开始构造.
解：
（1）24871=3468×7+595 3468=595×5+493(www.xing528.com)
595=493×1+102 493=102×4+85
102=85×1+17 85=17×5
所以，（24871，3468）=17
（2）17=102-85
=102-（493-102×4）=102×5-493
=（595-493）×5-493=595×5-493×6
=595×5-（3468-595×5）×6=595×35-3468×6
=（24871-3468×7）×35-3468×6
=24871×35+3468×（-251）
例6.3 求（1008，1260）和［1008，1260］.
【分析】先分别对1008和1260进行素因子分解.
解：
因为1008=24×32×7，1260=22×32×5×7，所以，（1008，1260）=22×32×7=252，［1008，1260］=24×32×5×7=5040
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