等势：设A和B为两个集合，如果A和B之间存在双射，则称A和B等势，记作A≈B.
有限（无限）集：若存在一个非负整数n使得A与｛0，1，…，n-1｝之间存在双射，则称A是有限的；若A不是有限的，则称它是无限的.
定理5.9 自然数集合N是无限的.
基数：（1）对于有限集A，若｛0，1，…，n-1｝与其等势，则n称为A的基数，记为|A|.
（2）自然数集N的基数记为
（3）实数集R的基数记为א.
可数（不可数）集：与自然数集等势的任意集合称为可数的.与实数集等势的任意集合称为不可数的.
定理5.10 A为可数集的充要条件是可以排列成A=｛a0，a1，…，an，…｝的形式.
定理5.11 任一无限集，必含有可数子集.
定理5.12 任一无限集必与其一真子集等势.
定理5.13 可数集的任何无限子集是可数的.
定理5.14 从可数集A中减去一个有限集M，则A-M是可数的.
定理5.15 两两不相交的有限个可数集的并是可数的.
定理5.16 两两不相交的可数个有限集的并是可数的.
定理5.17 可数个可数集的并是可数的.
定理5.18 有理数的全体是可数集.
重点和难点
1.函数性质的判断.
2.逆函数、复合函数的性质.
3.集合基数的比较，特殊集合基数的计算.
例题解析
例5.1 判断下列函数是否为满射、单射或双射.(www.xing528.com)
（1）f：R→R，f（x）=x.
（2）f：N→N×N，f（x）=＜x，x+1＞.
（3）f：（-1，1）→（0，1），f（x）=|x|.
【分析】判断函数f：X→Y是满射，只要证明R（X）=Y，即对任意y∈Y，必存在x∈X使得f（x）=y；判断函数f：X→Y是单射，只要证明若x≠y，则f（x）≠f（y）或者若f（x）=f（y），则x=y；判断函数f：X→Y是双射，只要分别判断它既是单射又是满射即可.
解：
（1）满射、单射和双射.
（2）单射.
（3）满射.
例5.2 自然数集合N是无限的.
【分析】要证明一个集合是无限的，只要证明它不可能与任一个有限集都不可能建立一一对应关系即可.
证明：
设n是N中的任意元素，f是从｛0，1，…，n-1｝到N的任意一个函数.令k=1+max｛f（0），f（1），…，f（n-1）｝，那么k∈N，但对每个x∈｛0，1，…，n-1｝，有f（x）≠k.所以，f不是满射，从而f不是双射.因为n和f是任意的，所以N是无限的.
例5.3 设函数g：A→B，f：B→C，
（1）若f◦g是满射，则f是满射.
（2）若f◦g是单射，则g是单射.
（3）若f◦g是双射，则f是满射，g是单射.
解：
（1）对任意的z∈C，因f◦g是满射，则存在x∈A使f◦g（x）=z，即f（g（x））=z.由g：A→B可知g（x）∈B，于是有y=g（x）∈B，使得f（y）=z.因此f是满射.
（2）对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，则由f◦g是单射得f◦g（x1）≠f◦g（x2），于是f（g（x1））≠f（g（x2）），必有g（x1）≠g（x2）.所以g是单射.
（3）由（1）（2）得证.
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