离散数学：集合运算与性质简介

集合的并与交：设A和B为两个集合，A和B的交集A∩B、并集A∪B分别定义如下：A∩B=｛x|x∈A∧x∈B｝，A∪B=｛x|x∈A∨x∈B｝.

定理3.6　设A和B为两个集合，则A⊆B⇔A∪B=B⇔A∩B=A.

集合的差：设A和B为两个集合，所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集，或相对补.记作AB=｛x|x∈A∧x∉B｝.A-B也称为A和B的差集.

集合的补：设U为全集，集合A关于U的补集U-A称为集合A的绝对补或余集，记为Ac.即Ac=｛x|x∈U且x∉A｝.

定理3.7　设A和B为两个集合，则A-B=A∩Bc.

集合运算的性质：对于任意3个集合A、B和C，其交、并、补满足下面10个定律：

（1）幂等律A∩A=A，A∪A=A

（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

（3）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A

（4）分配律A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）(www.xing528.com)

（5）同一律A∪Ø=A，A∩U=A

（6）零律A∪U=U，A∩Ø=Ø

（7）互补律A∪Ac=U，A∩Ac=Ø

（8）吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A

（9）德·摩根律（A∪B）c=Ac∩Bc，（A∩B）c=Ac∪Bc

（10）双重否定律（Ac）c=A

定理3.8　对任意集合A和B，B=Ac⇔A∪B=U且A∩B=Ø.

集合的对称差：集合A和B的对称差定义为A⊕B=（A-B）∪（B-A）.