刚体动态仿真：单位四元数旋转矩阵表示法

单位四元数在计算机图形领域发挥着重要的作用，因为它们是3×3旋转矩阵的等价表达。本节将简要介绍在单位四元数和右手坐标系旋转矩阵表示法之间来回切换所需的所有变换。

对于围绕经过原点的单位长度坐标轴u、角度为θ的旋转，其3×3旋转矩阵表示如下：

式中，ux、uy和uz为单位长度向量u的分量；t=（1-cos θ）。

该旋转可以用单位四元数表示：

反之，对于单位四元数q=s＋v，旋转轴u和四元数表示的旋转角θ可计算为

和

如果使用3×3矩阵表示法，旋转轴u和旋转角θ可根据下式计算：

和

其约束条件为sin θ≠0。如果不满足该约束条件，则旋转轴未定。(www.xing528.com)

最后，对于单位四元数q=s＋v，将式（10.9）和式（10.10）代入式（10.7），即可直接计算其等价的3×3矩阵表达。单位四元数的矩阵表达为

式中，vx、vy和vz为单位四元数q虚部v的分量。

此时，对于围绕单位长度轴u、角度为θ的旋转，我们可以使用式（10.7）～式（10.13），在四元数和3×3矩阵表示之间轻松切换。剩下的唯一问题是如何使用这些表示旋转任意向量p∈IR3。如果我们使用3×3矩阵表示，则只需通过计算下式即可旋转p：

pr=Rp　（10.14）

式中，R为旋转矩阵；pr为旋转向量。

如果使用四元数表示法，向量p∈IR3可由纯四元数qp=0＋p表示［见式（10.5）］，则可以通过四元数乘法计算旋转，即由下式计算：

式中，qpr为表示旋转向量pr的纯四元数。