教育与心理统计学：χ2检验步骤与虚无假设

χ2 （读作卡方）是各组实际次数与理论次数（即期望次数）之差的平方，除以理论次数所得的比率的总和。用f0表示实际观察次数，fe表示理论次数，则：

从公式（9-1）可以看出，χ2值是反映实际次数与理论次数差异程度的一个指标。当实际观察次数f0与理论次数fe相差越小时，χ2值也越小；若实际观察次数f0与理论次数fe之差越大时，χ2值也越大。因此，若要比较实际观察次数与理论次数的差异时，χ2检验是一种最有用的方法。

例如我们想了解教师对某种建议或方案的态度，我们可以随机抽取一个样本，如抽取100名教师。在这100名教师中，对某方案持赞成态度的有48人，持反对态度的有37人，不表态的有15人。在这个样本中，三种态度的人数有一定的差异，这种差异是教师总体意见的真实差异，还是由抽样误差造成的？这就需要我们进行χ2检验。再如，我们在教育调查中发现，某中学1053名学生中，男生有756人，女生只有297人。那么，该中学男、女生人数的差异能代表中学生这个总体吗？或者说，该中学男、女生的差异是否具有统计上的意义？这就需要我们利用χ2检验。

χ2检验是利用χ2分布进行检验的。χ2分布是一种呈偏态的理论分布，其分布形态因自由度df的不同而不同。χ2分布的形态如图9-1。统计学家已为我们编制了一个χ2值表（见附表4）。χ2值表的查法与t值表基本一样，我们只要知道自由度df并选定显著性水平α的值，便可在附表4中找到对应的临界值。如当df=5，α=0.05时，χ2的临界值由附表4可知为16.75；当df=30，α=0.10时，χ2的临界值为50.89。(www.xing528.com)

图9-1　不同自由度χ2分布曲线图

χ2检验的作用有两个：第一，检验实际次数与理论次数是否吻合，或检验实得分布与理论分布是否吻合，这类问题统称为适合性检验；第二，检验两组或多组计数资料是相互关联还是彼此独立的，这类检验称为独立性检验。

χ2检验的步骤与其他方法的检验步骤基本一样，所不同的是，它的虚无假设H0是根据某种统计理论提出来的。后面我们将通过具体例子加以说明。