教育与心理统计学：概率基本定理的运算方法

概率的基本定理主要有两个。

（一）概率的加法定理

1.事件“和”与事件“积”

如果在试验结果中同时考虑事件A与事件B两事件出现与否时，则可能结果有下列四种：①A与B同时出现；②A出现而B不出现；③A不出现而B出现；④A与B都不出现。

为了便于叙述概率运算的基本定理，我们把“A或B出现”称为事件A与事件B之和，并用符号A+B表示。应说明，“A或B出现”是指A与B两事件中的任一事件出现，或两事件同时出现。也就是说，“A或B出现”包含“A与B同时出现”“A出现B不出现”以及“A不出现B出现”三种情况。

如果在试验结果中同时考虑A1，A2，…，AK等K个事件出现与否时，则该K个事件中的任一事件出现，或某几个事件出现，即称为该K事件之和，并用符号A1+A2+…+AK或用符号表示。

此外，我们把“A与B同时出现”称为事件A与事件B之积，并用符号AB表示。同样，我们把“A1，A2，…，AK等K个事件同时出现”称为该K事件之积，并用符号A1，A2，…，AK或用表示。

2.概率的加法定理

（1）两个事件和的概率的加法定理

两个事件和的概率，可按照下列公式进行计算：

亦即，“A或B同时出现”的概率。

（2）互斥事件的概率的加法定理

什么是互斥事件？

如果在试验结果中，事件A与事件B不可能同时出现，亦即，P（AB）=0则称A与B为互斥事件，或者说，A与B互斥或互不相容。

如A与B为互斥事件，则：

例如，掷一枚硬币，正面与反面不能同时向上，正面向上（事件A）与反面向上（事件B）这两个事件是互相排斥的。在这种情况下，出现任何一种事件（即事件A或事件B）的概率，即为两事件分别发生的概率的总和。仍以掷硬币为例，“出现正面或反面”的概率为：

如果在A1，A2，…，AK等K个事件中任何两个事件都不可能在实验结果中同时出现，则称A1，A2，…，AK，AK等K个事件两两相斥或两两互不相容。

如果A1，A2，…，AK等K个事件两两互斥或两两不相容，则

以掷一个骰子为例，出现二点、四点或六点的概率为：。出现一点、二点、三点或四点的概率为：。

若A1，A2，…，AK等K个事件两两互斥，且在试验结果中必定出现其中之一，则：

仍以掷骰子为例，出现一点、二点、三点、四点、五点或六点的概率之和为：。

（二）概率的乘法定理(www.xing528.com)

1.条件概率的概念。条件概率在很多情况下，需要研究“在所规定的某项条件下，事件A出现”的概率。例如，有时需要研究“在事件B出现的条件下，事件A出现”的概率；有时需要研究“事件B出现与事件C出现的条件下，事件A出现”的概率等，这样的概率称为条件概率。在条件概率的符号中，应表明它的条件，例如，“在事件B出现的条件下，事件A出现”的条件概率记作：P（A/B）。“在事件B与事件C同时出现的条件下，事件A出现”的条件概率记作：P（A/BC）。

关于条件概率的计算，如果事件B出现的概率P（B）＞0，则：

2.概率的乘法定理

概率的乘法定理是计算事件积之概率的定理。

（1）两个事件的乘法定理。两事件积的概率，可按下式计算：

（2）独立事件的乘法定理。对于独立事件，概率的乘法定理具有特别简单的形式，并且今后将经常需要利用这种形式。所谓事件的独立性是指如果P（B/A）=P（B），亦即，如果事件A的出现与否不影响事件B的出现与否，则称事件B对于事件A独立。

独立事件的概率乘法定理可叙述如下：

如果A和B是两个相互独立的事件，则：

即两种相互独立事件同时发生的概率，等于它们单独发生的概率之乘积。

例如，在掷两枚硬币时，第一枚硬币发生正面向上的事件，并不排斥第二枚硬币出现正面向上的事件。这里，两个事件是独立的。掷两枚硬币同时出现正面的概率为第一枚硬币出现正面的概率和第二枚硬币出现正面的概率的乘积，即：

如果A1，A2，…，AK是K个相互独立的事件，则：

例如，掷两个骰子，使第一个骰子为二点，第二个骰子也为二点，其同时出现的概率为。若掷四个骰子，使四个骰子同时出现三点的概率为。

以上是较为简单的组合情况。在一些较复杂的情况下，需要同时使用概率的加法和乘法。

例如，一个袋子内有6个质地大小一样的球，其中白球4个，黑球2个，从袋中取两次，每次取1个，采用有放回抽取，求：

（1）两次抽取白球的概率；

（2）两次抽取相同颜色球的概率。

解：有放回抽取是指抽取后又将所抽取对象放回原处的抽取方式。设A为取到的两个球都是白球，B为取到的两个球都是黑球。

（1）一次抽取一个白球的概率为，一次抽取一个黑球的概率为，每次的抽取都是独立的。根据乘法定理，取到两个球都是白球的概率为。同理，。

（2）取到两个颜色相同的球，就是非黑即白，根据加法定理：

即取到两个都是白球的概率是，取到两个球颜色相同的概率是。