距今2000多年前埃及阿历山大城的一位名叫丢番图(Dio Phantus)的数学家,曾经研究怎么样的整数能表示两个平方数的和。
据说真正的答案是由两位欧洲的数学家,在1300多年后才得到:一位是荷兰的吉拉(Albert Girard),这是1625年;另外一位是稍迟时候发现的法国数学家费马(Fermat)。
我们现在知道第一个公开的证法是欧拉在1749年给出。
并不是所有的正整数都能表示为两个平方数的和,最简单的几个例子是:3,6,7,11等等。
欧拉发现:整数n=Pa1 1Pa2 2…Pak k是可以表示成两个平方数的和,当且仅当
(1)设有一个素数Pi是属于4k+=3的类型,或
(2)如果Pi是形如4k+3,那么ai,必须是偶数。
吉拉和费马同样认为:任何自然数都可以表示为最少四个平方数的和。但是人看不到他们的证法,而欧拉曾经试几次证明这结果,但不成功。拉格朗日在1770年,在学习欧拉以前这方面的工作之后给出了第一个证明。他的证明在数论上算是相当的美丽。
读者从以上的几个例子,可以相信这个结果是对吧!拉格朗日发现下面定理:“任何整数如果不是平方,可以表示成两个、三个或四个的平方和”的证明。(www.xing528.com)
另外他也发现一个很漂亮的关于素数的结果。对于任何整数n,我们用n!来表示这样的乘积n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1。即
n!=n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×…×3×2×1
例如1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2!=6
4!=4×3!=24,5!=5×4!=120,
6!=6×5!=720
拉格朗日发现如果n是素数(即除了1和它本身之外没有其他的约数。读者若想知道一些素数的性质,可参看拙著《数学与数学家的故事——第一集》里的《素数趣谈》一文)那么(n-1)!+1一定是n的倍数。
我们看n=2,3,5,7这几个例子
n=2我们有1!+1=2当然是2的倍数。当n=3我们有2!+1=3也是3的倍数。取n=5,我们有4!+1=25是5的倍数。取n=7,6!+1=721=103×7明显是7的倍数。同样在1770年英国数学家威尔森(Wilson)也发现这结果并给予证明。近代数论的书籍,许多人称这结果为威尔森定理,事实上应该是把拉格朗日和威尔森并提才对。
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