高斯的数学学院生活及突破：数论第一著

在费迪南公爵的善意帮助下，15岁的高斯进入一间著名的学院(程度相当于高中和大学之间)。在那里他学习了古代和现代语言，同时也开始对高等数学作研究。

他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的作品。他对牛顿的工作特别钦佩，并很快地掌握了牛顿的微积分理论。

1795年10月他离开家乡的学院到哥庭根(g o ttingen)去念大学。

哥庭根大学在德国很有名，它的丰富数学藏书吸引了高斯。许多外国学生也到那里学习语言、神学、法律或医学。这是一个学术风气很浓厚的城市。

高斯这时候不知道要读什么系，语言系呢还是数学系?如果以实用观点来看，学数学以后找生活是不大容易的。

可是在他18岁的前夕，现在数学上的一个新发现使他决定终生研究数学。这发现在数学史上是很重要的。

我们知道当n≥3时，正n边形是指那些每一边都相等，内角也一样的n边多边形。

希腊的数学家早知道用圆规和没有刻度的直尺画出正3、4、5、15边形。但是在这之后的2000多年以来没有人知道怎样用直尺和圆规构造正11边、13边、14边、17边多边形。

还不到18岁的高斯发现了：一个正n边形可以用直尺和圆规画出当且仅当n是底下两种形式之一：

(1)n＝2k k＝2，3，…

(2)n＝2k×(几个不同“费马素数”的乘积)(www.xing528.com)

k＝0，1，2，…

“费马素数”是外表像Fk＝22k＋1的素数。

17世纪时法国数学家费马(Fermat)以为公式Fk＝22k＋1，在k＝0，1，2，3，…给出素数。

事实上F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3＝257，F4＝65，537都是素数。在1732年欧拉(Euler)发现F5有一个因子641所以F5不是素数。目前我们知道的费马素数只是F0，…，F4五个。是否还有其他费马素数，或者费马素数是有限还是数学上未解决的问题。

高斯用代数方法解决了2000多年来的几何难题，而且找到正17边形的直尺与圆规的作法。他是那么的兴奋，因此决定一生研究数学。据说，他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正17边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。

1799年高斯呈上他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：任何一元代数方程都有根。这结果数学上称为“代数基本定理”(Fundamental theorem of algebra)。

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯是第一个数学家给出严密无误的证明。高斯认为这个定理是很重要的，在他一生中给了一共四个不同的证明。高斯没有钱印刷他的学位论文，还好费迪南公爵给他钱印刷。

20岁时高斯在他的日记上写，他有许多数学想法出现在脑海中，由于时间不定，因此只能记录一小部分。幸亏他把研究的成果写成一本叫《算学研究》(Disquistiones Arithmeticae)，并且在24岁时出版，这书是用拉丁文写，原来有八章，由于钱不够，只好印七章。

这书可以说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍“同余”(Congruent)这个概念(现在的中学“新数学”就有教这玩意儿)。而且还有数论上很重要的高斯称为“数论的酵母”的“二次互逆定理”(Law of Quadratic reciprocity)。这定理是描述一对素数的美丽关系，欧拉和勒让得知道这些关系，但没有法子证明。高斯在18岁时重新发现并给了第一个证明，他认为这是数论的“宝石”，一生给出五个不同证明。