函数论及其发展-数学领域的花絮

函数论包括复变函数论和实变函数论，但有时也单指复变函数论(或复分析)而言。

复数概念出现于16世纪，但对它的全面掌握和广泛运用，却迟至18世纪。自变量是复数的函数，叫做复变函数。如果复变函数在某一区域内除了可能有有限个例外点之外，处处有导数，那么这个伏辩函数叫做在这个区域内的解析函数；例外点叫做奇点。复变函数论主要研究解析函数的性质。

复变函数的研究是从18世纪开始的。30～40年代，欧拉利用幂级数详细讨论了初等复变函数的性质。达朗贝尔于1752年得出复变函数可微的必要条件(即“柯西—黎曼条件”)。拉普拉斯也考虑过复变函数的积分。

复变函数的全面发展是在19世纪。1825年，柯西讨论了虚限定积分，1831年他实质上推出了柯西积分公式，并在此基础上建立了一整套复变函数微分和积分的理论。黎曼1851年的博士论文《复变函数论的基础》，奠定了复变函数论的基础。他推广了单位解析函数到多位解析函数；引入了“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变因数的几何理论基础；证明了保角映射基本定理。威尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观，以幂级数为工具，用严密的纯解析推理展开了函数论。定义解析函数是可以展开为幂级数的函数，围绕着奇点研究函数的性质。近几十年来，复变函数论又有很大的推进。(www.xing528.com)

复变函数论是解决工程技术问题的有力工具，飞机飞行理论、热运动理论、流体力学理论、电场和弹性理论等中的很多问题。

实变函数的发展较晚，其中积分论是它的重要组成部分。容度和测度是线段长度概念的推广，是为了推广积分的概念而建立起来的。1893年，约当给出了“约当容度”的概念，并用于讨论积分。1894年，斯提捷首先推广了积分概念，得到了“斯提捷积分”。1898年，波莱尔改进了容度的概念，他称之为‘测度”。下一步决定性的进展是1902年勒贝格改进了测度理论，建立了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”等概念。1904年，他完全解决了黎曼可积性的问题。后来，数学家们对积分的概念又作了种种推广和探索。

实变函数的另一个领域是函数构造论。1885年，威尔斯特拉斯证明：连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数。这一结果和切比雪夫斯基最佳逼近论，是函数构造论的开端。近年来，这个方向的研究十分活跃。