微分方程解法数学领域中的实例

凡是表示未知函数和未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。如果未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方积。微分方程的基本问题是在一定条件下，从所给出的微分方程解出未知函数。

微分方程几乎是与微积分同时发展起来的，由于它与力学、物理学的渊源很深，所以在13世纪便已自成一门独立的学科了。两个多世纪来，这一学科已发展得相当完善。

1676年，莱布尼兹在致牛顿的信中，首先提出了“微分方程”这个名称。在他们两人的著作中，都包含了许多微分方程的实例。早期的研究侧重于探讨各类一阶方程的解法，并由此导致了方程的分类。18世纪，欧拉解决了全微分方程和“欧拉方程”(一类高阶变系数线性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n阶线性方程通解的结构。其后，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推导了非齐次线性方程的常数交易法。

对于微分方程组的研究，始于达朗贝尔。19世纪前半叶，柯西开始研究解的存在性和惟一性。19世纪后半叶，数学家们开始利用群论来研究微分方程，由此建立连续群和李群的新理论。庞加莱引入了极限环的概念，李雅普诺夫引入了微分方程组解的稳定性概念。他们的方法都不必直接求解，称为定性理论。1927年，毕尔霍夫建立了“动力系统”的一段定性理论。

一阶偏微分方程的研究首先是从几何学问题开始的。拉格朗日指出，解一阶线性偏微分方程的技巧，在于把它们化为常微分方程。一阶非线性偏微分方程的研究，始于欧拉和拉格朗日，蒙日为偏微分方程的几何理论奠定了基础。到18世纪末叶，在引入奇解、通解、全积分、通积分、特积分等概念之后，偏微分方程已形成一门独立的学科。(www.xing528.com)

二阶偏微分方程的研究，始于18世纪的弦振动理论。通常见的二阶偏微分方程均来自物理或力学的实际问题，它们构成了这门学科中一个独立的系统—数学物理方程。

积分方程源于阿贝尔1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了积分方程这个名词。1896年开始，伏特拉给出了两类积分方程的一般理论；不久，弗雷德荷姆大体上完成了一类重要的线性积分方程理论。由于这类积分方程常出现在一些物理问题中，因此积分方程论常被包含在数学物理方程内。

现代科学技术，如空间技术、现代物理学、力学等，都有许多问题需要用微分方程来求解，甚至在化学、生物学、医药学、经济学等方面，微分方程的应用也越来越多。