模糊数学理论基础简明解读

明晰数学的理论基础是普通集合论，模糊数学的理论基础则是模糊集合论。札德也正是从模糊集合论着手，建立起模糊数学的。

模糊集合论与普通集合论的根本区别，在于两者赖以存在的基本概念——集合的意义不同。普通集合论的基本概念是普通集合即明晰集合。对于这种集合，一个事物与它有着明确的隶属关系，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者必居其一，不可模棱两可。如果用函数关系式表示，可写成

这里的A(u)称为集合A的特征函数。特征函数的逻辑基础是二值逻辑，它是对事物“非此即彼”状态的定量描述，但不能用于刻画某些事物在中介过渡时所呈现出的“亦此亦彼”性。例如，取A为老年人集合，u为一个年龄为50岁的人，我们拿不出什么令人信服的理由来确定A(u)的值是1还是0。这正是普通集合论的局限之所在。

与普通集合不同，模糊集合的逻辑基础是多值逻辑。对于这种集合，一个事物与它没有“属于”或“不属于”这种绝对分明的隶属关系，因而也就不能用特征函数A(u)来描述。那么，怎样才能定量地描述模糊集合的性质和特征呢?模糊集合论的创立者札德给出了隶属函数的概念，用以代替普通集合论中的特征函数概念。隶属函数的实质，是将特征函数由二值{0，1}推广到[0，1]闭区间上的任意值。通常把隶属函数表示为μ(u)，它满足

0≤μ(u)≤1(或记作μ(u)∈[0，1])。

有了隶属函数概念，就可给模糊集合下一个准确的定义了。札德在1965年的论文中给出了如下的定义：

所谓给定了论域∪上的一个模糊子集A，是指：对于任u∈U，都指定了一数μA(u)∈[0，1]，叫做u对A的隶属度，函数μA叫做A的隶属函数。

隶属函数的选取是一个较为复杂的问题，目前还没有一个固定和通用的模式，它依问题的不同可以有不同的表达形式。在许多情况下，它是凭借经验或统计分析确定的。

例如，某小组有五名同学，记作u1，u2，u3，u4，u5，取论域∪的集合，显然这是一个模糊集合。为确定每个同学隶属于A的程度，我们分别给每个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100。

这里实际上就是在求隶属函数μA(u)。如果打分的结果是：

u1得85分，

u2得75分，

u3得98分，

u4得30分，

u5得60分，

那么隶属函数的值应是(www.xing528.com)

μA(u1)＝0．85，

μA(u2)＝0．75，

μA(u3)＝0．98，

μA(u4)＝0．30，

μA(u5)＝0．60，

可表示为

A＝(0．85，0．75，098，0．30，0．60)，

还可表示为

或

A＝{(0．85，μ1)，(0．75，μ2)，(0．98，μ3)，(0．30，u4)，(0．60，u5)}。

普通集合与模糊集合有着内在的联系，这可由特征函数A(u)和隶属函数μA(u)的关系来分析。事实上，当隶属函数μA(u)只取[0，1]闭区间的两个端点值{0，1}时，隶属函数μA(u)也就退化为特征函数A(u)，从而模糊子集A也就转化为普通集合A。这就表明，普通集合是模糊集合的特殊情况，模糊集合是普通集合的推广，它们既相互区别，又相互联结，而且在一定条件下相互转化。正因为有此内在的联系，决定了模糊数学可以广泛地使用明晰数学的方法，从明晰数学到模糊数学存在着由此达彼的桥梁。

模糊数学作为一门新兴的数学学科，虽然它的历史很短，但由于它是在现代科学技术迫切需要下应运而生的，因而对于它的研究，无论是基础理论还是实际应用，都得到了迅速的发展。

就其基础理论而言，模糊数学研究的课题已涉及到广泛的范围，如模糊数、模糊关系、模糊矩阵、模糊图、模糊映射和变换、模糊概率、模糊判断、模糊规划、模糊逻辑、模糊识别和模糊控制等。

在应用方面，模糊数学的思想与方法正在广泛渗透到科学和技术的各个领域，如物理学、化学、生物学、医学、心理学、气象学、地质学、经济学、语言学、系统论、信息论、控制论和人工智能等。同时，在工农业生产的许多部门已取得明显的社会效益。