Ⅸ抽样定理：光子学设计基础

可以用下面形式阐述抽样定理：如果一个模拟波形的带宽是Δf，那么以2Δf的速率对其值抽样就可以完全将波形确定。这就是说，如果以该速率及时在指定点抽取其波形值，就会有足够的信息重新精确地恢复该波形。

证明相当简单。假设，波形ν（t）的持续时间为T，现在讨论间隔T内重复出现的波形（见图Ⅸ.1a）。令波形带宽是Δf。

图Ⅸ.1　抽样定理

根据傅里叶理论，周期为T的波形可以表示为基频为2π/T的谐波之和。因此，可以用下面形式表示该波形：

式中，a_n和b_n为常数，确定基频第n级谐波的振幅和相位。

如果该波形中最低频率为f_L，最高频率为f_H。那么必须的最小和最大n值为

式中，n_L和n_H为正整数。因此，为确定式（Ⅸ.1）中的ν′（t）值必需的谐波总数是（n_H-n_L）。

由于对每一个n值都有两个未知数——a_n和b_n，由此得出结论：为了确定每个n的a_n和b_n，ν′（t）的2（n_H-n_L）个独立抽样足以设立2（n_H-n_L）个线性方程。但是有：(www.xing528.com)

2（n_H-n_L）=2（f_H-f_L）T （Ⅸ.2）

如果在时间T内取2（n_H-n_L）个抽样，那么只要在间隔T后开始重复，就完全可以确定该波形。根据式（Ⅸ.2），在间隔T内取2（n_H-n_L）个抽样意味着抽样速率为

该定理证明完毕。

注意到，若该波形的波谱延伸到DC（直流电），抽样率将是2f_H（信号波形中最高频率的两倍）。

在T内每隔一定间隔进行抽样将达到最大精度，这将为矩阵（a_n，b_n）提供最好的“条件”。在某些条件下，确定a_n和b_n的精度可能会降至零。例如，如果一个频率分量（2πn/T）以周期T/n的间隔抽样，那么只有一条而非两条信息适合于它，因此a_n和b_n就不可能分开确定。然而，倘若抽样间隔等于T/2n_H（以等于最高频率的一个频率均匀抽样），则由任何最低频率原因产生的上述现象不再出现，并且会有一个良好的条件矩阵。

实际上，使产生的脉冲序列通过同样宽度Δf的滤波器，就可以根据抽样脉冲重建波形。在这种情况下，滤波器对该脉冲的响应之和就恢复了该波形（见图Ⅸ.1b）。显然，知道a_n和b_n也可以直接计算波形。

很明显，f_s代表最低速率，以高于f_s的速率抽样可以提高精度，这种方法称为“过采样”。