光子学设计基础：费米-狄拉克函数

对具有反对称波函数的粒子（费米子）推导费米-狄拉克（Fermi-Dirac，FD）函数需要统计力学的知识，在各种教科书中对这些内容都有精确又精彩地阐述，在此仅做一下总结。

电子是费米子，因此，遵守费米-狄拉克统计学规律。所以，费米-狄拉克函数在此是非常重要的。

假设，电子在ε₁，ε₂…ε_i…ε_s范围内有任意能级，在第i能级有简并能级g_i（即有g_i个可能的态[波函数]，具有能量（ε_i））。由于讨论的是非对称粒子，因此，一个电子只具有一种态，这是费米子的一个突出性质。

假设，电子在能量ε_i处占据着g_i态中的n_i个，那么（g_i-n_i）个态是空的。g_i个态各不相同，所以它们依次有g_i！种排列方式。然而，由于所有电子都是等效的，所以，电子在n_i个填充状态中如何排列并不重要，（g_i-n_i）个空态如何排列也不重要。因此，在g_i态中排列n_i个电子的方式总数为

现在，若考虑所有i个可能的能级，那么，将所有电子安排在所有可能的能级中的总的方式数目为

式中，Π代表所有i值的连续乘积。

然而，至此，已经做了隐喻的假设：每个ε_i都有一个特定的电子数n_i。为使之完全具有普遍性，其特性必须包括n_i所有的可能设置，所以有：

现在，若结构布局一定，电子排列的方式越多，该结构中发现电子的机会就越大，占据该结构的概率也就越大。很容易证明，有一组特定的n_i，其W值要比其他任何组的值大非常多（约为exp10⁸倍）。因此，只需考虑最大值这一组，而忽略其他所有组：

为了根据其它物理参数确定电子的分布性质，必须附加在该函数上的条件是，该函数相对于n_i中的变量一定是最大值，因此，附加条件为

为了从数学角度控制上述条件，必须将连续乘积转换成和的形式，通过取自然对数（为了避免与n_i混淆，表示成“log”，而不是习惯的“ln”）就可以做到：

（原文该式右侧第3项漏印一个方括号。——译者注）

当n非常大时，就利用下述的斯特林（Stirling）近似公式：

logn！=nlogn-n

由于此处所有n_i和g_i都非常大，所以：

现在，如果W_T是最大值，由于两者存在单值关系，所以，logW_T也是最大值。因此：

这就是前述的附加条件。

还有另外两个条件需要附加在该系统上，电子总数必须保持不变以及系统总能量也一定保持不变，因此有：

利用式（Ⅶ.2）和式（Ⅶ.3）及一种被称为拉格朗日（Lagrange）待定系数法的数学技巧解决该问题。应用常数α和β，以便使：

从而构成下列的合理公式：(www.xing528.com)

然而，根据式（Ⅶ.3）可知，变量dn_i并非独立的。对于具体的dn_k和dn_j，如果α和β固定不变，则有：

-logn_k+log（g_k-n_k）+α+βε_k=0

和

-logn_j+log（g_j-n_j）+α+βε_j=0

利用这些确定的α和β值，会使i的所有其他（s-2）值都变成独立的。由此得出结论：对于所有的i值，包括k和j，

-logn_i+log（g_i-n_i）+α+βε_i=0组成s个公式，确定s个n_i值。因此有：

或

即

如果g_i>>n_i（即有许多许多能态，远比填充能态的电子数多），这些电子就不会受到其量子性的约束，并且其分布接近于玻耳兹曼统计学描述的经典情况。若是这种情况，则有：

因此

exp[-（α+βε_i）]>>1

所以

n_i≈g_iexp（α+βε_i）

根据玻耳兹曼统计学知道，何处该式能够成立：

式中，k为玻耳兹曼常数；T为绝对温度。可以得出：β=-1/kT。

为了方便，确定能量ε_F，以便：

（注意，ε_F～kT）最终可以写出n_i/g_i，当然，这是电子能够填充能态的比例，即

这就是式（6.18a），并组成了费米-狄拉克分布函数。