光子学基础知识：相干性测量及其应用

时间：2023-11-20 理论教育版权反馈

【摘要】：为了确定相干度对光学系统，尤其是包含干涉和衍射现象的光学系统的定量影响，需要定量测量出相干性。很可能的是，为了测量相干性而寻求的量就是该乘积函数衰变至零时表述速度特征的量。例如，假设研究一个纯时间正弦函数，已知这是一种理想的相干扰动，因此要求相干测量是1。图5.7相干函数很明显，可以利用同样思想研究空间相干性，用空间延迟σ代替τ。有时，γ12称为两个函数间的“相干度”。

光子学基础知识：相干性测量及其应用

为了确定相干度对光学系统，尤其是包含干涉和衍射现象的光学系统的定量影响，需要定量测量出相干性。如果已知某周期性扰动在某位置和时刻的（复）振幅，就必须判断和预估其在另一位置和时刻的量值。已经知道，纯正弦波有最大值，白光有最小值，将这些值分别定义为1和0是很方便的。

为了诠释这种思想，并使问题简单化，首先讨论纯时间相干性。

可以合理地假设一个时间函数f（t），若已知t时的值，就会知道其后续时刻t′时的值（与时刻t时的值完全无关）。如果两个时间函数完全无关，就希望在一个较长的时间范围内（与其变量（带宽的倒数）的特征时间常数相比），其乘积的平均值等于单个平均值的乘积，即

<f（t）f（t′）>=<f（t）><f（t′）> （5.1）

对绝大多数光学扰动，如果该函数是在零平均值附近振荡，即

<f（t）>=<f（t′）>=0

则由式（5.1）可以得

<f（t）f（t′）>=0

换句话说，当在一个较长时间范围内（与每个时间函数的变化时间相比）平均时，两个独立函数的乘积是零。

另外，若令t=t′，由于以t为变量的时间函数f（t）能够预先给出t时刻的值，所以，上面的“延迟平均值”一定有最大的可能值，因此有

<f（t）f（t′）>=<f²（t）>

并且，一定是“延迟平均值”的最大值。

显然，该乘积的值（对所有真实情况下的函数）从t′=t时的1，下降到t′是其他值时的0。此时，两个变量完全无关。显然，出现这种情况时的t′值越大，依赖性就越强，相干性也就越大。很可能的是，为了测量相干性而寻求的量就是该乘积函数衰变至零时表述速度特征的量。

例如，假设研究一个纯时间正弦函数，已知这是一种理想的相干扰动，因此要求相干测量是1。

将波写成下面形式：

f（t）=asinωt

为了得到“延迟平均”函数，首先将该函数自乘，再用时间τ进行替换（即t′=t+τ）（见图5.3），则有

将该式在全部时间范围内进行平均（零带宽对应的特征时间常数为无穷大），由于<cos（2ωt+ωτ）>=0，就有

该量称为扰动的自相关函数c（τ）。若按照较规范的数学形式表示，应当是下面计算形式：

图5.3　自相关延迟

即

因此

该函数并不衰变，而是随频率ω和固定振幅a²/2振荡。对于振荡场，如光波，总是含有ωτ的正弦项，并且不会提供有用的相干信息，所以就把后面的振幅项作为光波相干性的计量。c（τ）的数学形式称为“卷积”。

由于要求正弦波的相干性计量是1，所以，为了方便，选择将其归化到τ=0时的值（在这种情况下，c（0）=a²/2）。

该规化后的函数称为相干函数γ（τ）。对于所研究的情况，γ（τ）=1（理想相干）。

现在讨论白光。注意到，这等效于一系列随机分布的、有正值也有负值的δ函数（见图5.4）。显然，该系列代表无穷多个频率范围内的光学正弦波散布，每一个的平均振幅值都是零，该系列的平均振幅值也一定是零。如果要得到“延迟平均”函数，就将该组δ函数与一个位移后的δ函数相乘，则只有其中的一部分相叠加。并且，相同符号的两个δ函数的叠加与相反符号的两个δ函数的叠加具有相同的概率。因此，叠加函数的平均值总是零，与时间延迟无关。如此，对于所有的τ，都有c（τ）=0，即γ（τ）=0（即理想非相干）。(www.xing528.com)

最后讨论随机量子流或者波包（见图5.5）。

这些波包在传播过程中彼此渗透，并且每个波包自身是相干的。如果这种波包流的波形乘以自身位移后的函数，结果就是图5.6a所示的形式。只有在位移超出一个波包的周期时，相关才基本上降为零。在这种情况下，就会形成一个衰变的正弦波。并且，表征该振幅衰变速率特性的量，就是相干性测量（例如，若是指数衰变情况，时间计算到1/e）。