定义3 设有两个向量组A：α1，α2，…，αs与B：β1，β2，…，βt，若向量组B能由向量组A线性表示，且向量组A也能由向量组B线性表示，则称这两个向量组等价.
由定义知，任意一个向量组都与它的极大无关组等价，且同一个向量组的不同极大无关组之间都相互等价.
定理2 设有两个向量组A：α1，α2，…，αs与B：β1，β2，…，βt，若它们满足下面两个条件，
（1）向量组A：α1，α2，…，αs线性无关.
（2）向量组A能由向量组B线性表示.则s≤t.
证 由于向量组A能由向量组B线性表示，因而存在s×t个数cij（i=1，2，…，s；j=1，2，…，t），使得
写成矩阵形式，有
若s＞t，则矩阵C的s个t维列向量c1，c2，…，cs必线性相关.
于是必存在不全为零的数组k1，k2，…，ks，使得
进而，有
从而A：α1，α2，…，αs线性相关，矛盾，即证s≤t.
由定理2可推得以下四个推论.(www.xing528.com)
推论1 设有两个向量组A：α1，α2，…，αs与B：β1，β2，…，βt，若向量组B能由向量组A线性表示，且s＜t，则向量组B线性相关.
推论2 设有两个向量组A：α1，α2，…，αs与B：β1，β2，…，βt，若向量组A的秩为r1，向量组B的秩为r2，且向量组A也能由向量组B线性表示，则r1≤r2.
推论3 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量.
推论4 等价的向量组必有相同的秩.
例3 已知两个向量组有相同的秩，且其中一个向量组可被另一个向量组线性表示，证明：两个向量组等价.
证 设这两个向量组为（Ⅰ）和（Ⅱ），它们的极大线性无关组分别为：α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr，并设β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr线性表示，由于β1，β2，…，βr线性无关，因此由方程
知
，从而由上式可以解出
αi（i=1，2，…，r），
即α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr线性表示，从而它们等价.
再由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr分别与向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，所以向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）也等价.
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