向量组极大无关组及秩-线性代数（第2版）

定义1　设向量组A的一个部分组A0：α1，α2，…，αr满足下面两个条件.

（1）向量组A0：α1，α2，…，αr线性无关.

（2）向量组A中的每一个向量都可由A0：α1，α2，…，αr线性表示.

则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）.

由定义可得出下面四个结论.

（1）只含有零向量的向量组没有极大无关组.

（2）在极大无关组A0中添加向量组A的任何一个向量所得的r+1个向量必线性相关.

（3）线性无关向量组的极大无关组是其自身.

（4）向量组A的极大无关组可能不止一个.

注：极大无关组就是向量组这个集体中的核心成员.

例1　设有三维列向量组

求它的一个极大无关组.

解　因为α1，α2，α3线性无关，且

所以α1，α2，α3是所求向量组的一个极大无关组.

同理可知，α1，α2，α4与α1，α3，α4及α2，α3，α4也是所求向量组的极大无关组.

上例说明，向量组的极大无关组可能不唯一，但每个极大无关组所含向量的个数是一个确定的常数.

定理1　一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.

证　设α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βs是某向量组的两个极大无关组.

若r≠s，则不妨设r＜s.

于是由极大无关组的定义知β1，β2，…，βr线性无关，

且β1，β2，…，βr可由极大无关组α1，α2，…，αr线性表示，即有

写成矩阵形式，有(www.xing528.com)

则可证矩阵A是可逆的.

事实上，设矩阵A有列分块

A=（d1，d2，…，dr），

其中，di=（ci1，ci2，…，cir）T（i=1，2，…，r）.

设|A|=0，则存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λr，使得

从而β1，β2，…，βr线性相关，这与β1，β2，…，βr线性无关矛盾，即证|A|≠0，所以A可逆.由此可得

（α1，α2，…，αr）=（β1，β2，…，βr）A-1.

这说明α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表示，而βr+1，βr+2，…，βs可由α1，α2，…，αr线性表示，所以βr+1，βr+2，…，βs可由β1，β2，…，βr线性表示，这与β1，β2，…，βs是极大无关组相矛盾.即r＜s不成立.

反之，也有r＞s不成立，从而r=s.

定义2　向量组A：α1，α2，…，αm的极大无关组所含向量的个数称为该向量组A的秩，记为r（α1，α2，…，αm）.

规定：由零向量组成的向量组的秩为0.

在例1中，由于向量组

的一个极大无关组是α1，α2，α3，因此该向量组的秩为r（α1，α2，α3，α4）=3.

例2　设有四维列向量组

α1=（1，2，-1，1）T，α2=（2，0，t，0）T，

α3=（0，-4，5，-2）T，α4=（3，-2，t+4，-1）T，

求它的一个极大无关组和秩.

解　由于向量的分量中含有参数t，因此向量组的极大无关组和它的秩都应与t的取值有关.于是将所给向量组按列排成矩阵，并对其作初等行变换，有

所以得出下面两个结论.

（1）当t=3时，α1，α2是所求向量组的一个极大无关组，且r（α1，α2，α3，α4）=2.

（2）当t≠3时，则α1，α2，α3是所求向量组的一个极大无关组，且r（α1，α2，α3，α4）=3.