线性代数第2版:向量组线性相关性判别

判断向量组的线性相关性往往可以归结为有关的齐次线性方程组有无非零解的讨论.因而，由定义3可知，若将列向量组α1，α2，…，αm构成矩阵A=（α1，α2，…，αm），则向量组A线性相关就等价于齐次线性方程组

x1α1+x2α2+…+xmαm=0，

即Ax=0有非零解，从而列向量组α1，α2，…，αm线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=（α1，α2，…，αm）的秩r（A）＜m，而列向量组α1，α2，…，αm线性无关的充要条件是r（A）=m.

定理4　设m≤n，则m个n维列向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是其组成的矩阵A=（α1，α2，…，αm）的秩r（A）=m.

由定理4，若向量的分量已知时，则向量组的线性相关性可以归结为以下三个推论.

推论1　n维列向量组A：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是其组成的矩阵A=（α1，α2，…，αn）的秩r（A）=n，或|A|≠0.

推论2　n维列向量组A：α1，α2，…，αm线性相关的充分必要条件是其组成的矩阵A=（α1，α2，…，αm）的秩r（A）＜m.

推论3　n维列向量组A：α1，α2，…，αm，若m＞n，则向量组α1，α2，…，αm一定线性相关.

证　设　A=（α1，α2，…，αm），

因为　r（A）≤min｛m，n｝=n＜m，

由推论2知，向量组α1，α2，…，αm线性相关.

由推论3可知，m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关，特别地，n+1个n维向量一定线性相关.

定理5　线性无关向量组的任何一个部分组线性无关，反之，若向量组存在一个线性相关的部分组，则该向量组线性相关.

定理6　增加向量的分量保持无关性，减少分量保持相关性.即设有向量组

则有以下两个结论.

（1）若A：α1，α2，…，αm线性无关，则B：β1，β2，…，βm也线性无关.

（2）若B：β1，β2，…，βm线性相关，则A：α1，α2，…，αm也线性相关.

证　（1）用定义证明.令

因为α1，α2，…，αm线性无关，所以方程组（3.2.9）中的前m个方程也只有零解，从而方程组（3.2.9）只有零解，即证B：β1，β2，…，βm线性无关.(www.xing528.com)

（2）因为B：β1，β2，…，βm线性相关，即方程组（3.2.9）有非零解，于是也满足方程组（3.2.9）中的前m个方程，即证A：α1，α2，…，αm也线性相关.

换言之，可以得出以下两个结论.

（1）一个向量组线性相关（无关）的充要条件是对应的齐次线性方程组有非零解（唯一零解）.

（2）增加（减少）向量个数，相当于增加（减少）方程组中未知量个数；增加（减少）维数，即是增加（减少）方程组中方程的个数.

例7　试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性.

解　n维单位坐标向量构成的矩阵I=（e1，e2，…，en）是n阶矩阵，于是由

即r（I）等于向量组中向量个数，所以该向量组是线性无关的.

例8　已知向量组α1=（1，2，3）T，α2=（3，2，1）T，α3=（1，3，1）T，试讨论向量组α1，α2，α3及向量组α1，α2的线性相关性.

解　解法一　对矩阵A=（α1，α2，α3）施行初等行变换变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵α1，α2，α3及α1，α2的秩

可见，　r（α1，α2，α3）=3，

所以向量组α1，α2，α3线性无关.

同理，知　r（α1，α2）=2，

所以向量组α1，α2也线性无关.

解法二　设存在一组数x1，x2，x3，使得

因为此方程只有零解，所以α1，α2，α3线性无关.

解法三　由向量α1，α2，α3作为列所组成的行列式为

所以α1，α2，α3线性无关.