线代（第2版）：向量组的线性相关

由例5的结果知道，向量α能由α1，α2，α3，α4线性表示，但向量α4不能由α1，α2，α3线性表示.这相当于方程组（3.2.2）有解，而方程组

无解.

因而，需要进一步考察一个给定向量组A：α1，α2，…，αm之间的这种线性关系.

定义3　设有向量组A：α1，α2，…，αm，若存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使

则称向量组A线性相关，否则称为线性无关.

由定义得出下面两个结论.

（1）定义中“否则”一词的含义，这里是指“没有不全为零的数k1，k2，…，km使上式成立”，也就是只有当k1，k2，…，km全为零时，才使上式成立，即若上式成立，则k1，k2，…，km必须全为零.

（2）m=1时，向量组只含一个向量，当α=0时是线性相关的，当α≠0时是线性无关的（含有零向量的向量组必然线性相关，反之，线性无关的向量组必然不含有零向量）；

m=2时，两个向量线性相关的充分必要条件是其对应的分量成比例（平面上两个向量线性相关的几何意义是两向量共线，空间中三个向量线性相关的几何意义是三向量共面）.

例6　证明：若向量组α1、α2、α3线性无关，则向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1也线性无关.

证　设有一组数k1，k2，k3，使

成立，整理得

（k1+k3）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3=0.

再由题设α1、α2、α3线性无关.所以

于是方程组（3.2.8）仅有零解，即只有k1=k2=k3=0时式（3.2.7）才成立.

所以向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关.

定理2　向量组A：α1，α2，…，αm（m≥2）线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示.

证　充分性.不妨设αm可由α1，α2，…，αm-1线性表示，即存在一组数λ1，λ2，…，λm-1，使

αm=λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm-1，

即

λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm-1+（-1）αm=0.

显然λ1，λ2，…，λm-1，-1这m个数中至少有一个（-1）不为零，所以向量组A线性相关.

必要性.设向量组A线性相关，则有一组不全为零的数λ1，λ2，…，λm，使

λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0，(www.xing528.com)

不妨设λ1≠0，则

即α1能由α2，α3，…，αm线性表示.

注：（1）该定理的等价命题（逆否命题）为向量组A：α1，α2，…，αm（m≥2）线性无关的充分必要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示.

（2）此结论不能理解为“线性相关的向量组中，每一个向量都能由其余向量线性表示”.例如，二维向量α1=（0，1），α2=（0，-2），α3=（1，1）是线性相关的（因为α1，α2线性相关），但α3不能由α1，α2线性表示，即对任意的k1，k2，都有α3≠k1α1+k2α2.

（3）向量组的线性相关与线性无关的概念也可用于线性方程组的讨论中.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）.

定理3　设向量组A：α1，α2，…，αm线性无关，则向量组B：α1，α2，…，αm，β线性相关的充要条件是β可由A：α1，α2，…，αm线性表示，且表示唯一.

证　充分性.设β可由A：α1，α2，…，αm线性表示，即存在一组数λ1，λ2，…，λm，使

β=λ1α1+λ2α2+…+λmαm，

则λ1α1+λ2α2+…+λmαm+（-1）β=0.

显然λ1，λ2，…，λm，-1这m+1个数中至少有一个（-1）不为零，所以向量组B线性相关.

必要性.因为向量组B：α1，α2，…，αm，β线性相关，所以存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λm，λ，使

λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0，

若λ=0，则有不全为零的数λ1，λ2，…，λm，使得

λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0.

这与α1，α2，…，αm线性无关矛盾，所以λ≠0，于是有

再证明表示唯一.若存在两种表示，即

β=λ1α1+λ2α2+…+λmαm，

β=μ1α1+μ2α2+…+μmαm，

则有　（λ1-μ1）α1+（λ2-μ2）α2+…+（λm-μm）αm=0.

又因为α1，α2，…，αm线性无关，所以

λi-μi=0（i=1，2，…，m），

即证表示唯一.