线性方程组解收录于《线性代数（第2版）》，解析！

通过例1可知，用高斯消元法解三元一次方程组的过程，相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换.下面将这一方法用于求解一般线性方程组.

设有n个未知量m个方程的非齐次线性方程组

上面的线性方程组可以写成如下的矩阵形式

Ax=b，

相应地，方程组的增广矩阵记为

一般地，若线性方程组有解，则称为相容方程组，否则称为不相容或矛盾方程组.线性方程组有解的情况又分为两种：有唯一解和有无穷多解.

例2　求解下列线性方程组

行阶梯形矩阵最后一行对应的线性方程为：0=20，矛盾！所以原线性方程组无解.

例3　求解下列线性方程组

行最简形矩阵对应的线性方程组为

可得方程组的解为

发现未知量x1、x2的取值依赖于x3的取值，而x3的取值可以自由选取，称x3为自由未知量，可自由取值，取x3=C（其中C为任意常数），即方程组的解为

显然该方程组有无穷多解.

通过例1、例2、例3发现，利用方程组系数矩阵A的秩与增广矩阵的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时解是否唯一的问题.

定理　设有n个未知量m个方程的非齐次线性方程组Ax=b，则

（1）Ax=b无解⇔r（A）＜r（~A）.

（2）Ax=b有唯一解⇔r（A）=r（~A）=n.

（3）Ax=b有无穷多解⇔r（A）=r（~A）＜n.

证　无需证明条件的必要性，因为上面三条结论中每一条的必要性都是另两条充分性的逆否命题.设r（A）=r，下面证明该定理充分性.

不妨设a11≠0（否则将第一个方程与另一个方程互换位置即可满足），利用第一个方程做初等变换消去后面方程中的未知量x1，得到同解方程组.这相当于对原方程组的增广矩阵作一系列初等行变换，将其化为

再不妨设，并利用第二个方程做初等变换消去后面方程中的未知量x2，得到同解方程组.如此继续下去，设可将原方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵

于是，有如下证明过程.

（1）当时，显然有，且Bt中的第r+1行对应的方程是一个矛盾方程0=dr+1，所以原方程组无解.

（2）当r（A）=r=r（~A）=n时，显然有dr+1=0（或dr+1不出现），Bt对应的同解方程组为

由于上式左端的系数行列式等于c11c22…cnn≠0，由克莱姆法则知，方程组有唯一解，从而原方程组也有唯一解.

（3）当时，显然也有dr+1=0，Bt对应的同解方程组为

由于上式左端的系数行列式c11c22…crr≠0，由克莱姆法则知，对任意给定的一组值

xr+1=kr+1，xr+2=kr+2，…，xn=kn，

方程组有唯一解

x1=k1，x2=k2，…，xr=kr，

从而x=（k1，k2，…，kn）T就是原方程组的一组解，所以原方程组有无穷多解.

上述证明过程实际上给出了求解n元非齐次线性方程组Ax=b的一般步骤，有以下四步.

（1）用初等行变换将线性方程组Ax=b的增广矩阵化为行阶梯形矩阵Bt，求出A和的秩.(www.xing528.com)

（2）直接观察r（A）与是否相等.

若，则原方程组无解；

若，则原方程组有唯一解；

若，则原方程组有无穷多解.

（3）在有解的情况下，继续对的行阶梯形矩阵Bt作初等行变换，最终化为行最简形矩阵，即

（4）写出原方程组的解.

若，则原方程组有唯一解

若，则原方程组有无穷多解，取xr+1，xr+2，…，xn为自由未知量.

令xr+1=Kr+1，xr+2=Kr+2，…，xn=Kn，其中Kr+1，Kr+2，…，Kn为任意常数，则得到原方程组的全部解，也称为原方程组的通解，即

注：当时，方程组有无穷解时，并不是总是选xr+1，xr+2，…，xn为自由未知量，选取哪些未知量为自由未知量是由方程组的系数矩阵A来决定的.一般地，系数矩阵A中不为零的r阶子式所含的r个列以外的n-r个列所对应的未知量称为自由未知量，因此自由未知量的选取可能不唯一.为简单起见，一般选取与系数矩阵A等价的行最简形矩阵里面的n-r个非主元列所对应的未知量为自由未知量.

特别地，在齐次线性方程组Ax=0中，总有，所以总有解存在（事实上齐次线性方程组的零解总存在）.

推论1　n元齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于未知量的个数n，即r（A）=n.

推论2　n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩小于未知量的个数n，即r（A）＜n.

例4　求解齐次线性方程组

解　对系数矩阵A施行初等行变换，

由于r（A）=2＜4，所以原齐次线性方程组有无穷解（非零解），由行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组，并取x3，x4为自由未知量.

令x3=C1，x4=C2（C1，C2为任意常数），则

它表达了方程组的全部解，即为原齐次线性方程组的通解.

例5　当λ、μ取何值时，线性方程组有如下的解.

（1）无解；

（2）唯一解；

（3）无穷多解，并求出此时的通解.

解　对方程组增广矩阵实施初等行变换，即

（1）当λ-17=0，μ-2≠0，即λ=17，μ≠2时，

所以原方程组无解.

（2）当λ-17≠0，即λ≠17时，

所以原方程组有唯一解.

（3）当λ-17=0，μ-2=0，即λ=17，μ=2时，

所以原方程组有无穷多解.

此时，进一步对上述行阶梯形矩阵实施初等行变换，将其化为行最简形矩阵

由行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组，并取x3为自由未知量.

令x3=C（C为任意常数），则得原方程组的通解为