初等变换求矩阵的秩-线性代数（第2版）

从上述例子可以看出，用定义1去求矩阵的秩时，需要从高阶到低阶去考虑矩阵的子式是否全为零，而当矩阵的行数、列数都很大时，按定义求秩显然是非常麻烦的.不过有一些矩阵的秩却是很容易观察得到.

例2　求矩阵A的秩，其中.

解　容易观察到A有一个3阶子式是可逆的上三角行列式，即

因此　r（A）≥3.

又因为A是一个行阶梯形矩阵，其非零行只有三行，所以A的所有4阶子式全为零.

于是，由定义1知

r（A）=3.

例2说明，行阶梯形矩阵的秩很容易判断，就是它的非零行的个数，而任意矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵.因而可以考虑用矩阵的初等变换法来求矩阵的秩.为此需要考虑一个矩阵经过初等变换后是否能保持矩阵的秩不变化.

定理1　初等变换不改变矩阵的秩.

推论　设A为m×n矩阵，则r（A）=r当且仅当存在m阶可逆矩阵Pm和n阶可逆矩阵Qn，使得

由此可见，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵非零行的行数就是该矩阵的秩.

注：矩阵的秩是矩阵的本质属性，它是矩阵中真正起作用的行（或列）的个数.后续的学习中，我们还会认识到矩阵的秩的其他表现形式.(www.xing528.com)

例3　求矩阵A的秩，并求A的一个最高非零子式.其中

所以　r（A）=3.

A的一个最高非零子式为3阶子式，可取

因为初等变换不改变矩阵的秩，而可逆矩阵又可表示为若干个初等矩阵的乘积，再由本章2.5节定理3可以得出下面的定理2.

定理2　设A为m×n矩阵，P、Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则

r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）.

即一个矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵，都不改变该矩阵的秩.

注：（1）max｛r（A），r（B）｝≤r（A，B）≤r（A）+r（B），特别地，当B=b为列向量时，则有r（A）≤r（A，b）≤r（A）+1.

（2）r（A±B）≤r（A）+r（B），r（A-B）≥r（A）-r（B）.

（3）若A、B分别为m×n和n×k矩阵，则r（A）+r（B）-n≤r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝.

（4）若Am×nBn×l=O，则r（A）+r（B）≤n.