初等矩阵与可逆性的关系

定义6　对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

因此，三种初等变换分别对应着三种初等矩阵.

（1）I的第i，j行（列）互换得到的矩阵，记为

（2）I的第i行（列）乘以非零数k得到的矩阵记为

（3）I的第j行乘以数k加到第i行上或I的第i列乘以数k加到第j列上得到的矩阵记为

不难验证，初等矩阵具有下列性质.

（1）初等矩阵都是可逆矩阵，它们的逆矩阵还是同类型的初等矩阵，并且

（I（i，j））-1=I（i，j），

（I（（k）i））-1=I（（k-1）i），

（I（i+（k）j））-1=I（i+（-k）j）.

（2）|I（i，j）|=-1，

|I（（k）i）|=k，

|I（i+（k）j）|=1.

定理2　对矩阵A施行一次初等行变换，相当于用同种类型的初等矩阵左乘A；对矩阵A施行一次初等列变换，相当于用同种类型的初等矩阵右乘A.

例如，设A=（aij）3×3，把A的第1行乘以k加到第3行上去，相当于(www.xing528.com)

由定理2知，存在初等矩阵P1，P2，…，Ps和Q1，Q2，…，Qt，使得

若A为n阶可逆方阵，则|A|≠0，从而A化为标准形矩阵后不可能有零行和零列，所以r=n.即

Ps…P1AQ1…Qt=In，

于是

由初等矩阵的性质知，等式右边均为初等矩阵.

定理3　可逆矩阵A可以表示为有限个初等矩阵的乘积，并且可逆矩阵A可以只用初等行（列）变换化为单位矩阵.

若A可逆，则A-1可逆且可以表示为有限个初等矩阵的乘积，即

式（2.5.1）表明对A实施若干次初等行变换化为单位矩阵I，式（2.5.2）表明对I实施同样的初等行变换可以化为A-1，P1P2…Ps（A，I）=（I，A-1）.

所以可以得到一种求逆矩阵的方法.

对于n阶可逆矩阵A，作一个n×2n的分块矩阵（A，I），对其实施初等行变换，将分块矩阵（A，I）的子块A化为I，与此同时子块I化为A-1，即

这就是求逆矩阵的初等变换法.

类似地，也可以用初等列变换求逆矩阵，即

例2　用初等变换法求矩阵A的逆矩阵，其中.