矩阵与矩阵相乘的例子及解析

考虑下面的例子.

有甲、乙两个工厂生产1、2、3三种产品，矩阵A表示一年中各个工厂所生产的每种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单价和单位利润，矩阵C表示各个工厂的总收入和总利润.即

其中，aik（i=1，2；k=1，2，3）是第i个工厂生产的第k种产品的数量，bk1、bk2（k=1，2，3）分别是第k种产品的单价和单位利润，ci1、ci2（i=1，2）分别是第i个工厂生产的三种产品的总收入和总利润.

则A、B、C的元素之间有如下的关系：

其中，cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j（i=1，2；j=1，2），即矩阵C中的第i行第j列元素是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和.这种由矩阵A、B决定矩阵C的方法称为矩阵的乘法.

定义3　设A=（aij）是一个m×s矩阵，B=（bij）是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=（cij），其中.并把此乘积记作C=AB，即

按照这个定义，一个1×s行矩阵与一个s×1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也是一个数.

注：（1）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘.

（2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数.

（3）乘积矩阵的第i行第j列元素是左矩阵的第i行与右矩阵的第j列的对应元素的乘积之和.

例2　求矩阵的乘积AB及BA.

例3　求矩阵的乘积AB及BA.

由上述例题可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB是A左乘B（B被A左乘）的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时，BA可能有意义，也可能没有意义.如果A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，那么AB与BA都有意义，但是AB是m阶方阵，BA是n阶方阵，当m≠n时，AB≠BA.即使m=n，即A、B是同阶方阵，如例3，A与B都是2阶方阵，而AB与BA也都是2阶方阵，但是AB与BA仍然不相等.总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA.

对于两个n阶方阵A、B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的.(www.xing528.com)

例3还表明，矩阵A≠O，B≠O，但却有BA=O.因此，要特别注意如果有两个矩阵A、B满足AB=O，不能得出A=O或B=O的结论.矩阵乘法一般也不满足消去律，即不能从AC=BC，且C≠O中推出A=B.

例如，设

而A≠B.

矩阵的乘法虽然不满足交换律和消去律，但是仍然能够满足结合律和分配律（假设所有计算都是可以进行的）.

（1）结合律：A（BC）=（AB）C.

（2）左分配律：A（B+C）=AB+AC.

右分配律：（B+C）A=BA+CA.

（3）（kl）（AB）=（kA）（lB）=（lA）（kB），其中k、l是常数.

（4）设A=（aij）m×n，则ImA=A，AIn=A.

由（4）可知，单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.

有了矩阵的乘法，可以将线性方程组简洁地表示成一个矩阵方程，这是线性方程组的矩阵形式.

设有线性方程组

则该方程组可表示为