粗糙海面建模技术-宽频带宽角度电磁散射快速分析及成像

研究随机粗糙面的电磁散射特性，必须对粗糙表面进行建模。利用功率谱密度，随机粗糙面可以采用Monte Carlo方法来模拟生成，其基本思想是：在频域用功率谱对其进行滤波，再做快速傅立叶变换(FFT)得到粗糙面的高度起伏。

首先，考虑一维粗糙表面，以Gaussian随机粗糙面为例，假定平面在y对于任意x1，x2，…，xn，如果随机变量f(x1)，f(x2)，…，f(xn)满足联合Gaussian分布(高斯分布)，则f(x)是一个Gaussian随机过程。一个Gaussian随机过程可以由相关函数C来描述

用f(x)来描述粗糙表面，如果粗糙表面是移动不变的，那么相关函数具有以下关系

并且，相关函数与谱密度函数W(kx)是一对Fourier变换关系，即

假设要生成长度为L的粗糙表面，用f(x)来描述粗糙面的起伏，那么，f(x)可以利用Fourier级数表示为

其中，bn是Gaussian随机变量。f(x)的相关函数为

令，根据相关函数和谱密度函数的关系，可以得到

再令，则

于是，得到关系

下面给出生成一维随机粗糙面的算法流程：

Step 1：确定粗糙面的表面长度L和离散间隔Δx；

Step 2：生成N个服从标准正态分布的随机数，r1，r2，…，rN；

Step 3：计算和，其中α≠β，且rα和rβ是生成的N个随机数中的两个；

Step 4：利用剩下的N-2个随机数，计算-N/2+1，…，-2，-1；

Step 5：计算，n=1，2，…，N/2-1；

Step 6：利用DFT计算粗糙面高度起伏

与生成一维粗糙面类似，二维粗糙面同样也可以用功率谱函数和FFT来生成。仿造一维随机粗糙面的产生原理，可以直接得到生成二维随机粗糙面的算法。

算法流程：

Step 1：确定粗糙面在x和y两个方向上的截断长度Lx和Ly，以及它们各自的离散间隔Δx和Δy；

Step 2：生成服从标准正态分布的随机数矩阵αmn和βmn，其中m=0～2M，n=0～2N，M=Lx/2Δx，N=Ly/2Δy；

Step 3：将αmn和βmn组合成复随机数，即

Step 4：计算展开系数

Step 5：利用DFT计算粗糙面高度起伏(www.xing528.com)

由于粗糙面的高度起伏是一个实数，因此在程序的实现过程中，需要保证每次IFFT操作之后的结果必须是实数。所以，在αmn和βmn组合成的复随机数矩阵需要满足一个规律，即该矩阵在两个方向上均是共轭对称的。

不失一般性，本书重点分析高斯粗糙面和Pierson-Moskowitz海面，下面给出它们的谱函数的具体形式。

高斯谱函数是最常用也是最普通的谱函数，其一维和二维的表达式分别为

其中，h为相关长度，l为rms长度。

其中，h为相关长度，lx和ly分别为x和y方向的rms长度。

对于海面，为简单起见，通常假设充分生成条件，即不考虑海水与空气之间的热交换，当风以恒定速度在充分长区间内吹过很长时间后，达到稳态，海态直接与摩擦风速唯一相关。Pierson-Moskowitz(P-M)谱为常用的静态海浪谱，其谱函数表示为

其中，k为空间波数(可以为正数或负数)，U为平均海面上方19.5 m高度处的风速，g0=9.81 m/s2，为重力加速度，其他参数α=8.1×10-3，β=0.74。式(6.5.21)表明，P-M谱是正负对称的偶函数，如图6-23所示。

图6-23 不同风速下的一维P-M谱

为了能够得到二维海面，还需要引入方向谱。通常将方向谱取为S(ω，θ)=S(ω)·G(ω，θ)，其中，S(ω)为频谱，G(ω，θ)为体现能量相对于方向分布的一个函数，θ为海浪主方向(一般取为平均风向)和组成波的波向之间的夹角。G(ω，θ)必须通过观测得到，其中最简单的形式为cos nθ。n通常取2～4，n愈大(本书中n统一取2)，能量愈集中于主波向附近。

下面给出一些粗糙面建模的数值仿真结果。首先，考虑生成一维高斯分布的随机粗糙表面，长度为25.6m，采样个数为256，RMS为0.2m，相关长度为0.5m。其高度起伏结果如图6-24所示。

图6-24 一维高斯随机粗糙面

其次，生成二维高斯粗糙面，x方向长度为80.0 m，采样个数为201，y方向长度为80.0 m，采样个数为201，如图6-25所示。

图6-25 二维高斯随机粗糙面

(a)h=0.5，x方向的RMS=1.0，y方向的RMS=1.0；(b)h=0.5，x方向的RMS=5.0，y方向的RMS=5.0

下面考虑P-M海面，对于一维P-M谱海面，长度为60.0 m，采样个数为601，在不同风速下的仿真结果如图6-26所示。可以看出，风速越大，海面起伏越大。

图6-26 一维P-M谱海面

(a)风速U=1.5 m/s；(b)风速U=7.5 m/s

最后，给出三维P-M谱海面的例子，x方向长度为80.0 m，采样个数为201，y方向长度为80.0 m，采样个数为201，如图6-27所示。

图6-27 三维P-M海面

(a)风速U=1.5 m/s；(b)风速U=7.5 m/s