宽频带宽角度电磁散射快速分析

利用阻抗矩阵插值虽然解决了构造阻抗矩阵的问题，但方程的求解仍然是扫频的瓶颈。在这里，为了能够使迭代求解快速收敛，可以采用稀疏近似逆(SAI)预条件。SAI预条件是一种显示的预条件技术，它通过对系数矩阵的逆矩阵做直接稀疏的近似来构造预条件算子。常用的SAI预条件都是在F-范数最小化的基础上构造的，即构造一个稀疏近似的逆矩阵M={mij}，使得(对应于坐标预条件的情况)或者(对应于右边预条件的情况)在给定的预条件矩阵M的非零模式下最小。这是一种很自然的构造系数矩阵近似逆的方式。

SAI算子的构造选择在F-范数下最小的好处是，可以使得在F-范数下最小化问题的求解转化为N个各自独立的线性最小二乘问题的求解，即

式(5.2.8)对应右边预条件算子的构造情况。这里ej表示单位矩阵I的第j列，mj表示要构造的近似逆预条件矩阵M的第j列。于是，近似逆预条件SAI矩阵每一列的构造分别对应一个最小二乘问题的求解。SAI预条件算子的构造非常重要的一步是非零模式的选择，以决定非零元素填充的位置以及待求解最小二乘问题的规模。假定SAI预条件矩阵M的非零模式已经选定，且表示为

则预条件矩阵M的第j列mj的非零模式就可以表示为

那么，SAI中最小二乘问题的求解就只同阻抗矩阵的部分列构成的一个子矩阵相关。

通常有两种方式可以用来选择SAI预条件矩阵M的非零模式，一种是静态的方式，另一种是动态的方式。静态的方式是在预条件算子的构造前就给出其非零模式。其构造思想是：在保证预条件矩阵非零模式足够稀疏的情况下，要求其非零模式能很好地反映出系数矩阵的逆矩阵中最大元素的位置，以使得在此非零模式上填充的元素能对预条件的效果做出最大的贡献。由于这种静态的方式在预条件算子构造前就给出了其非零模式，从而十分有利于SAI预条件算子的并行化。此外，SAI预条件算子构造所需要的存储量以及计算复杂度也可以预先得到估计。在矩量法和快速多极子中，一种简单而有效的静态模式选取方式是：直接选取稀疏化矩阵A的非零模式作为SAI预条件矩阵的非零模式，即

通过上述方法构造的SAI预条件，可以明显地降低矩阵方程的迭代求解步数。

采用SAI预条件加速方程求解，迭代步数虽然减少了，但同样增加了构造预条件的时间，尤其是在每个频点上都要构造预条件。我们发现，SAI预条件矩阵不需要非常精确，也能够获得同样的加速收敛的效果，同时不改变最后的RCS结果。因此，对SAI预条件矩阵进行插值，可以节省大量的预条件构造时间。对SAI插值同样用有理函数插值的方法，具体公式为

其中，Mmn为SAI预条件矩阵中的第m行和第n列元素，k为波数，c0，c1，…，cp和d1，d2，…，dq为插值系数。

为了快速分析宽频带的电大尺寸目标散射，我们提出将近场阻抗矩阵插值和预条件插值相结合，可以节省大量的计算时间。下面用数值算例来说明混合插值方法的效果，分别为导弹(未知量7818)、金属平板(1m×1m，未知量34165)、金属立方体(1m×1m×1m，未知量121854)。第一个例子的入射角度为θ=90°、φ=45°，第二、三个例子的入射角度为θ=0°、φ=45°。迭代求解采用的是重启的GMRES算法，子空间维数为30，迭代收敛的精度为10-3。所有的算例都是在PC机上仿真，CPU为Intel Core II 8300 2.66GHz，内存为1.96 GHz。为了能够显示混合插值方法的优势，将电流插值的结果与新方法的结果做比较。如图5-4(a)、图5-5(a)和图5-6(a)所示，当RCS曲线复杂的时候，电流插值方法没有得到准确的结果，相应的采样点数分别为61、41和51；阻抗矩阵插值可以得到准确的RCS曲线，且每个算例的阻抗矩阵的采样点数均为6，预条件的采样点数为5。可见，在相对少的采样点个数的前提下，阻抗矩阵插值可以获得比电流插值更好的结果。

如图5-4(b)、图5-5(b)和图5-6(b)所示，插值获得的SAI预条件和传统方法直接构造的SAI预条件可以获得几乎一样的收敛效果，因此可以证明插值方法是有效的。同时，结合表5-2、表5-3可以看出，经过插值后SAI的构造时间不到无插值SAI的1/10，整个扫频的计算时间也节省了许多。(www.xing528.com)

图5-4 导弹的计算结果

(a)VV极化的RCS扫频曲线；(b)矩阵矢量乘次数随频率的变化曲线

图5-5 金属平板的计算结果

(a)VV极化的RCS扫频曲线；(b)矩阵矢量乘次数随频率的变化曲线

图5-6 金属立方体的计算结果

(a)VV极化的RCS扫频曲线；(b)矩阵矢量乘次数随频率的变化曲线

表5-2 稀疏近似逆预条件矩阵构造时间(时间：s)

表5-3 频率扫描的总时间比较(时间：s)