宽频带宽角度电磁散射快速分析及成像

对于一个m×n的矩阵，对其进行SVD的计算复杂度为O(m 2n+mn 2)。虽然采用低秩分解的思想可以极大地加速单站RCS计算，但是，当右边向量个数逐渐增加，SVD分解的计算量也将越来越大，最终会导致巨大的计算负担。为了缓解这个问题，本节将第3章的自适应采样的策略与SVD结合，提出了一种新的快速算法。

首先，我们回顾一下自适应采样的策略。利用插值方法加速单站RCS的计算，其本质思想就是利用相邻角度之间的相关性，来降低数据的采样率，从而减少计算时间。对于任意目标的单站RCS曲线，存在这样的情况，即在某段角度范围内电流的相关性较大，或者说是曲线比较平缓，那么，这段角度区域所需要的采样点个数就相对较少；如果电流的相关性较小或曲线变化剧烈，那么，这段角度区域所需要的采样点个数就相对较多。因此，采用等间隔的采样策略，采样间隔必须保证曲线变化剧烈的区域的数值精度，从而在曲线变化缓慢的区域造成了信息的冗余和浪费。如果采用不等间隔的采样，并设计一套自适应采样的策略，让计算机自动选择合适的采样点，则可以增加插值算法的稳定性和效率。

对于任意一个在区间[x1，x2]上的函数f(x)，假定已经获得它两个端点的函数值f(x1)、f(x2)和导数值f′(x1)、f′(x2)，那么该函数在区间[x1，x2]是否平缓，可以用下面的方法来判断。利用端点的函数值可以确定一条直线，并用来逼近该函数，公式如下

利用函数值和导数值可以确定一条三次曲线，同样可以用来逼近该函数，公式如下

如果曲线f(x)足够光滑(极端情况就是直线)，那么，分别用这两种模型逼近该函数，所得的结果差别较小；如果曲线f(x)变化非常剧烈，那么，分别用这两种模型逼近该函数，所得的结果差别会很大。因此，从这点出发，我们提出一种新的自适应采样的思想，即：(1)利用一次多项式模型和三次多项式模型之间的差别，来确定曲线是否需要插值；(2)一次多项式模型和三次多项式模型之间差别最大的位置，为最需要增加采样的位置。因此，通过两种模型的相互比较，得出我们的自适应采样算法。与第3章不同的是，这里的自适应采样策略应用在了右边向量上面，而不是电流解向量，即f(x)是右边向量b，而不是解向量x。对于二维扫角问题，则采用二维的自适应采样策略，具体可以参考第3章的论述。

当采用了自适应采样策略后，我们可以得到一系列的采样点，结合三次样条插值函数，便可以用采样点上面的函数值将右边激励向量的函数b(θ，φ)进行展开

这里m和n分别表示在俯仰角和方位角两个方向上的采样点个数，采样点分别为(θ0，φ0)，(θ0，φ1)，…，(θi，φj)，…，(θm，φn)。此时，如果直接求解A-1b(θi，φj)，那就是等同于第3章描述的自适应(双)三次样条插值算法。(www.xing528.com)

从低秩分解的观点出发，我们发现，采样点上的函数值b(θi，φj)，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n同样也存在低秩特性，可以用SVD进行压缩。令Bs为采样矩阵表示为Bs=[b(θ0，φ0)，b(θ1，φ1)，…，b(θm，φn)]，那么，对右边向量的采样矩阵Bs做奇异值分解(SVD)，方程可以转化为

其中，∑为对角阵表示Bs的特征值，酉矩阵U和酉矩阵V为Bs的特征向量，上标H表示共轭转置。将B的SVD分解形式去掉小特征值和对应的特征向量，可以近似表示为

其中，矩阵Uk、∑k和Vk分别表示U、∑和V保留k个最大特征值分量的结果，可以证明，Bsk与Bs近似相等。于是方程组可以进一步表示为

从上面的式子可以看出，方程求逆的操作全部集中在计算A-1·Uk，求逆的次数为k，因此可以得出，在损失很少的精度的前提下，求解方程的次数可以从n次降到k次。一般情况下，k小于采样点的个数。

由于自适应采样的过程对计算时间和内存的需求很小，经过自适应选择采样点后，采样点的个数也远小于实际要计算的角度的个数，从而降低了SVD过程的计算负担，将两种算法结合，可以进一步加快单站RCS的计算效率。