宽频电磁散射分析与成像-研究历史及现状

利用计算机高效分析复杂目标散射属于计算电磁学领域，经过数十年的发展，涌现出大量的计算方法，主要分为解析法和数值法。

经典的数学分析方法是近百年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段。解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方程。严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法[20]，严格求解积分方程的方法主要是变换数学法。解析法的优点是：(1)可将解答表示为已知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果；(2)可以作为近似解和数值解的检验标准；(3)在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。用解析法求解电磁场的边值问题，有时可以得到精确的数据结果，并能根据参量的变化，推断出解的变化趋势。对于目标电磁散射特性的分析，传统的解析方法仅仅局限于解决几何形状为球体或无限长圆柱体等简单目标，满足不了不断增长的工程方面的需要。

鉴于解析法无法解决实际工程问题的缺点，人们就致力于研究求解复杂边值问题的近似方法和数值方法。麦克斯韦早在1897年就尝试用积分方程的数值解来计算矩形金属板间的电容量。随着计算机技术与计算电磁学理论的迅猛发展，出现了许多可用于分析任意形状复杂目标电磁散射特性的数值方法。这些方法大致可划分为基于微分方程的数值方法或基于积分方程的数值方法两大类。在计算机出现以前，应用数值法求解更复杂的边值问题并非易事，但随着高速度、大存储量计算机的发展，数值方法的应用日益广泛，过去看来难解的问题，现在已能比较容易地求得足够精确的数值解了。

用于散射特性分析的微分方程法，包括时域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain：FDTD)[2-4]和有限元法(Finite Element Method：FEM)[5-7]，这两种方法需要在传播空间内进行网格划分，存在网格数值色散。对于开域问题，微分方程的求解必须施加吸收边界条件(Absorbed Boundary Condition：ABC)，增加网格划分，因而带来了额外的内存需求和计算量等问题，不利于电大尺寸目标的电磁散射特性分析。

基于高频近似的高频方法，如几何光学法(Graphic Optics：GO)[8-9]、几何绕射理论(Geometrical Theory of Diffraction：GTD)[10，11，13-14]、物理光学法(Physical Optics：PO)[12]、物理绕射理论(Physical Theory of Diffraction：PTD)[13-14]、迭代物理光学法(Iterative Physical Optics：IPO)[15]、弹跳射线方法(Shooting and Bouncing Rays：SBR)[16]及其他各种改进的高频方法等等，由于具有计算速度快、消耗机器内存少的优点被广泛应用于各类复杂目标电磁散射特性的分析。然而，由于高频近似条件的引入，使得高频方法的计算结果精度低，这是制约高频方法发展及其应用的一个重要的因素。

积分方程法如矩量法(Method of Moment：MoM)同样是一种严格的数值方法[21-23]，由于其计算结果精度高，常用于分析目标的电磁散射特性。与微分类方法相反，积分方程类数值方法中的未知数仅定义在源上，而不是整个空间。因此，积分类方法所产生的未知数数目比微分类方法少很多。另外，由于格林函数的引入，电磁场在无限远处的辐射条件已解析地包含在积分方程类方法之中，所以其数值耗散误差可以减至很小。积分方程法又可分为体积分方程(Volume Integral Equation：VIE)法[24-25]和表面积分方程(Surface Integral Equation：SIE)法[26-27]两种。体积分方程法适合于非均匀介质材料的电磁散射特性分析，而表面积分方程法适合于理想导体或均匀介质材料的电磁散射特性分析。(www.xing528.com)

尽管基于积分方程的矩量法具有严格的理论模型，但是其生成的矩阵为满阵。假定N为未知量个数，则存储该稠密矩阵将要耗费O(N 2)的内存量。同时，如果利用直接法来求解矩量法的阻抗矩阵方程，其计算复杂度为O(N 3)，这样一来，对于电大尺寸的目标问题变得越发严重。正是由于受到计算机存储量的限制，长期以来，矩量法仅仅局限于分析低频区到谐振区范围内目标的电磁散射特性。近几十年来，由于计算机技术与计算电磁学理论的迅猛发展，矩量法作为一种严格的数值方法，重新引起了人们极大的关注。特别是各种高效的快速积分方法的提出，大幅度地降低了矩量法分析所需的计算量以及内存量，如快速傅立叶变换技术(Fast Fourier Transform：FFT)[28-29]、稀疏矩阵正交网格方法(Sparse Matrix Canonical Grid：SMCG)[30-31]、自适应积分方法(Adaptive Integral Method：AIM)[32]等等。其中，快速傅立叶变换技术利用三维格林函数的Toplitz特性，在傅立叶谱空间中完成矩量法阻抗矩阵与任意矢量相乘的操作，为利用迭代算法求解阻抗矩阵方程提供必要的信息。这就避免了阻抗矩阵元素的直接存储，从而将内存需求由原来的O(N 2)降低到O(N)。如果将快速傅立叶变换技术同迭代算法相结合，如共轭梯度迭代算法(Conjugate Gradient：CG)或双共轭梯度迭代算法(BCG)，就可以形成所谓的CG-FFT或BCG-FFT快速算法。利用此类快速傅立叶变换的迭代算法求解阻抗矩阵方程，可以将其计算复杂度从直接解法的O(N 3)降低到O(KN log N)，这里的K表示迭代算法达到满意收敛精度时所需的迭代步数。

另一种高效的快速积分方法就是基于耦合区域划分的快速多极子方法[36-40]。快速多极子方法将矩量法中各个基函数的相互作用分别划分为近区作用和远区作用。基函数的近区作用仍然采用传统的矩量法来实现，形成近区作用的阻抗矩阵，并得到显式的存储。基函数的远区作用则通过快速多级子方法中的“聚合”“转移”以及“配置”来实现，从而有效地实现远区作用阻抗矩阵元素同任意矢量相乘的操作，同样避免了远区作用阻抗矩阵元素的显式存储，达到降低存储量的目的。将快速多极子方法同求解矩阵方程的迭代算法相结合，可以将矩量法的计算复杂度和存储量同时降低到O(KN 1.5)。如果采用多层快速多极子方法，则矩量法的计算复杂度和存储量可以进一步降低为O(KN log N)和O(N log N)。

基于积分方程的矩量法分析目标的电磁散射特性，通常会产生稠密的阻抗矩阵。应用直接解法，如高斯消去法或LU分解法求解此类阻抗矩阵方程，由于受到存储量以及计算量的限制，并不切实可行。因而，迭代算法就成了一种很自然的选择[45]。尤其是各种快速积分方法的出现，如快速傅立叶变换技术、快速多极子方法、自适应积分方法等等，使得阻抗矩阵的元素并不都需要显式的存储，同时为迭代算法提供了快速实现的矩阵矢量乘操作，使得迭代过程能够顺利进行。目前常用的迭代解法有共轭梯度法[46-47]、双共轭梯度法[48-49]、准最小余量法(Quasi-Minimal Residual：QMR)[50-51]、广义最小余量法(General Minimal Residual：GMRES)[53-55]及其他各种改进的子空间方法[56-58]等。为了进一步加速计算效率，学者们相继开发出了多种预条件技术，包括对角预条件技术、不完全LU预条件技术(Incomplete LU：ILU)[59-60]、对称超松弛预条件技术(Symmetric Successive Over Relaxition：SSOR)[61-62]、稀疏近似逆预条件技术(Sparse Inverse Approximation：SAI)[63-64]、特征谱压缩预条件技术[65-68]等，用于减少迭代法收敛所需的迭代步数。

采用矩量法和多层快速多极子技术，理论上可以精确分析任意目标的电磁散射。但是，在实际应用中往往需要获取目标的宽频带和宽角度上的散射场或雷达散射截面曲线，采用逐点重复求解积分方程，需要消耗大量的计算时间。从积分方程离散后形成的线性方程组出发，我们发现，阻抗矩阵、右边向量和解向量随频率和角度变化具有连续变化的特性，并呈现出某种规律，因而可以用来对频率和角度扫描的过程进行加速。正是基于这一背景，本书着重研究电磁散射中宽频带、宽角度扫描的加速技术。