最小二乘正则法在微观形貌测量技术中的应用

正确求解出Zernike 圆多项式拟合干涉波面的拟合系数是现在数字化干涉精密检测技术的重要部分。

求解Zernike 圆多项式拟合光学干涉波面系数有一些常用的方法：一是最小二乘法，二是Gram−Schimdt 正交法，三是Householder 变换法。事实上，众多的算法可以分成两类基本算法，一类是直接应用最小二乘法求解Zernike 圆多项式拟合系数；另一类是利用Zernike 多项式构造一个新的正交归一化的函数系，并对新的函数系运用最小二乘法。在本书的7.3 节对最小二乘法进行讨论，在本书的7.4 节对Gram−Schimdt 正交法进行讨论。在本书中，不对Householder 变换法进行讨论和说明。

在函数拟合过程中，我们将测量量当作已知数据代入拟合函数中，得到式（7−14）。对于式（7−14），如果去除掉（ε1，ε2，…，εm）T，就得到一个非齐次线性方程，只要解算出这个方程组系数解，即可得到被测表面和干涉仪参考面之间形成的干涉波面用Zernike 多项式表达的波面函数。如何求解出拟合系数即完成对干涉波面的ki拟合是问题讨论的中心。原则上，对光学干涉波面进行Zernike 多项式拟合是一个数学问题。然而，在测量系统中，绝大多数情况下，采样点的数量m 比Zernike 圆多项式中使用的项数n（此处的n 与7.1 节中的n含义不同）大。公式不存在解析解。此时，我们的目的是找到一组b0，b1，b2，…，bn，使得函数拟合的离差平方和Q 尽可能小。

根据最小二乘法正则方程的一些性质，我们得到这样的结论，Q 对b0，b1，b2，…，bn求偏导数，令所有偏导数等于0，得到线性方程组。(www.xing528.com)

式中

求解线性方程组（7−26）得到的b0，b1，b2，…，bn，即Q 取最小值时对应的Zernike 多项式系数。实践表明，上述方法逻辑关系简单，方法通用，收敛性令人满意。

与另外两种常见算法相比，最小二乘法不但程序设计过程较少，而且方法通用简单，可靠性相对比较高，除此之外，利用最小二乘法进行计算的过程中，运算量更小，因此其运算耗时也少于另外两种方法。