微观形貌测量技术：二维权重模型

上节实际上给出了在最小二乘意义下运用余弦变换解下列超定线性方程组的方法：

其最小二乘解就是法方程

的解。式中，X 是一个M × N 的相位值向量；B 是包含包裹相位差的长度为N （M−1）+M （N−1）的向量；T 表示转置。

式（4−50）可重写为

式中，P =ATA 为对向量Φ作离散拉普拉斯变换的矩阵，ρ=ATB 为对包裹相位差作离散拉普拉斯变换的向量。

当干涉图中噪声、阴影及低调制度等区域为已知时，应恰当地对这些区域加权以获得更为可靠的相位解包裹算法。此外，干涉图中一些无相位信息区域或相位跳变区域，可以通过加权预先分离出来，以使得相位解包裹结果更为准确。

因此，相位解包裹问题归结为求解加权的最小二乘意义下的方程组。将式（4−49）加权因子，有

其法方程为

式中，W 为权重矩阵。

令代入式（4−53），得

令

则有

式中，B 为包含权重相位差的简单向量；C 为修正的对权重包裹相位差的拉普拉斯算子。式（4−56）完全类似于式（4−51）。因此式（4−56）实为加权的二维最小二乘意义下相位解包裹的矩阵方程。

权重矩阵的参与使得不能像在非权重模型情形下那样直接运用离散余弦变换求解式（4−56）。对于权重模型，可通过下述两种解法方程：一种为Picard迭代法，另一种为预条件共轭梯度法。

1.Picard 迭代法

Picard 迭代法是将非权重模型解法组成一简单迭代算式以精确求解权重模型问题。

首先将矩阵Q 分解为

将式（4−57）代入式（4−56），有

将式（4−58）变形为

将式（4−59）写成迭代方程，有

式中，k 为迭代次数。

将式（4−57）代入式（4−60），有

式中，Q =ATW TWA 为修正的对权重相位差的离散拉普拉斯算子；P =ATA为对非权重相位差的离散拉普拉斯算子。因此，DΦk可看作对Φk的矩阵差算子。

式（4−61）是利用二维非权重模型中离散余弦变换方法求解二维权重模型中最小二乘去包裹迭代方法的基础，其相应算法归结如下：

（1）权重矩阵W 和包裹相位差矩阵A，计算修正的对权重相位差的离散拉普拉斯算子Q；计算对非权重相位差的离散拉普拉斯算子P；进而计算矩阵向量C，并存储之。

（2）确定最大迭代次数kmax。

（3）设定迭代初值k=0，Φ0=0（或其他初始猜测值）。

（4）计算向量PΦk+1=C −DΦk=C−（Q −P）Φk。(www.xing528.com)

（5）运用算法1 解式PΦk+1=ρk，得Φk+1。

（6）若k＜kmax，转到步骤（4）继续迭代过程，否则停机。

（7）设定最后解为Φk+1，更新迭代计数，k=k+1。

（8）转到步骤（4）。

在权重最小二乘问题中权重矩阵W 的确定原则是：矩阵元素0≤ wij≤ 1，并且与原始包裹相位值ϕij 一一对应。但是，为计算修正的拉普拉斯算子，必须给相位差值以恰当的权重而不是相位值。实际应用中，对于任意相位差，选择对应于两相位的两个权重中的较小值作为附加到相位差上的合适的权重。

例如，式（4−58）中的矩阵向量C，其矩阵元素可写为

式（4−51）的右边，其矩阵元素可写为

式中

式（4−64）中，权重元素均为平方项，这是因为在权重最小二乘公式中WTW算子的缘故。

该算法有以下优点：一是易于实现；二是因为大多数算子已事先计算存储，故只需要较小的迭代空间；三是倘若迭代收敛，则会收敛于正确的权重最小二乘解。在每一帧迭代过程中，计算范数可检测迭代收敛程度。

该算法的缺点是：有可能不收敛，或者收敛但迭代次数太大。

2.预条件共轭梯度法

共轭梯度（CG）法是解稀疏线性方程组的有效方法。共轭梯度法将求解线性方程组作为最小化问题，从而得到比下山法等简单最小化方法更为快速收敛的效果。CG 法具有可靠的收敛特性，若无截断误差，将对N×N 矩阵方程的求解问题经N 次迭代后收敛。然而，当N 很大时，迭代次数必然很大，并且由于实际计算过程中截断误差的存在，并不能保证迭代绝对收敛。

预条件共轭梯度法（PCG）是一个改进的快速收敛方法。它允许使用类似权重DCT 方法的迭代算法，得到快速收敛解。缺点是：因没有预先的计算而需要大的存储空间和耗时巨大。

实际运用CG 法解矩阵方程时，取远远小于N 的k 次迭代解作为近似解。对于大型矩阵方程的求解问题，获得精确解所需的实际迭代数k 取决于当前矩阵的条件数，如果当前矩阵接近于单位矩阵，即当前矩阵的条件数接近于1，CG 法会很快收敛。预条件共轭梯度法运用一个预条件步骤，有效地将当前矩阵变换成一个非常接近单位矩阵的矩阵，因此可以实现迭代方程的快速收敛。

通过解一个近似问题（例如，非权重相位解包裹问题）而得到预条件，然后在每一帧迭代过程中适时修正这个解。最后，预条件解被用于获得对精确问题真解的估计。

PCG 法归结如下：

（1）设迭代初值k =0，Φ0=0，ρ0=C。

（2）当 ρk≠0时，由DCT 二维非权重去包裹算法解PΦk=ρk。

（3）更新迭代计数，k=k+1。

（4）若1，k=则P1=Z0。

（5）若k＞1，则有

（6）作一个标量更新及两个向量更新，则有

（7）若则计算结束；否则转到步骤（2）。

这一算法有效地将DCT 法运用到可靠的CG 法中，以解决权重最小二乘相位解包裹问题。

然而，应该注意到，由于以变换方法为基础，因此DCT 法虽然对噪声进行了有效抑制或者去除了“坏”区域的影响，但同时不可避免地降低了“好”区域的精度，所以对于干涉图较好的情形是不适宜的。该法主要应用于强噪声场合、复杂干涉图和特殊形状孔径等。