宇宙奥秘揭开：物理与数学的百年火花

广义相对论提供了现代天文学与宇宙学相当扎实的理论基础。为了描述黑洞或中子星等致密星体碰撞、超新星爆炸，以及它们的精确引力波波形，我们需要了解爱因斯坦方程的性质与长期演化结果。爱因斯坦方程是非线性的多变量耦合方程，即使是最简单的双黑洞演化问题也难有解析解，而需要依赖数值模拟，并衍生出数值相对论。在数值计算上一个大问题是，如何在形式上为四维的爱因斯坦方程中，解读出空间与时间两个概念。毕竟自从1905年的狭义相对论发表后，所有物理定律都可用四维时空之协变（张量）形式表示，使得在不同惯性坐标下所看到的物理定律都具有一样的数学形式，即使物理现象看起来很不一样。譬如，在雨中奔跑，垂直下落的雨滴好像往前扑来，或如移动坐标中的静电场看起来是磁场一般。这个问题在经过了近半个世纪后，有了明确解释，形式上四维的爱因斯坦方程，终于被拆解成较明确的三维空间的演化方程。在这样的表示下，四维时空可任意被“切割”成三维空间的堆砌，不同的切法由四个参数所描述，分别代表相邻切片的时间间隔与空间坐标平移。一旦知道某一初始切片的三维内禀曲率及它的“速度”（即是三维切片的外禀曲率，描述该曲面如何镶嵌在四维下），并设定下一相邻切片的四个参数，爱因斯坦方程就能决定接下来的演化结果。无论怎么切，拼凑起来都可重建成相同的四维时空。这也意味着，坐标只是一种标记，不会影响到时空的几何性质。如果以一条白吐司作为三维空间的例子，可以选择漂亮地切成每一片宽度相同的二维片，也可以切得歪七扭八，但都能拼凑成原来的一整条白吐司，具有唯一的三维性质。图4-7显示地月公转系统中最简单的切片。

图4-7　地月公转所形成的四维时空可表示为三维空间沿着时间方向的切片

另一个概念上的问题为三维初始切片的选择。以双黑洞系统初始切片为例，计算机无法直接处理黑洞中心发散（无限大）的奇点。另外，不像真空电磁场的麦克斯韦理论，广义相对论是完全非线性的：直接将两个史瓦西黑洞解相加，并不等于双黑洞系统初始时空，除非双黑洞相距无限远。而没有好的初始条件，就不可能模拟出正确的结果。所以在20世纪70年代前，当多黑洞的时空解还无法计算，科学家用相当简化的初始条件来模拟双黑洞碰撞的过程，例如，以特殊虫洞解，连接两个相距不远的黑洞，来近似天文上的双黑洞系统互撞。据估计，这种迎头互撞的黑洞系统可释放出约千分之一总质量的引力辐射。这样的系统其实可视为史瓦西黑洞的微扰态，后来在1994年以近距离极限近似计算也可得到类似结果，但这种近似远远小于后来实际的模拟结果。

对于奇点的处理，则需要充分利用黑洞事件视界的特性。在古典理论下，黑洞的事件视界是一个环绕黑洞的球面，一旦掉入，虽然仍可以接收外界信息，但无法传出任何信息，它的内部可说是完全独立于我们所处的外部宇宙。既然所有的信息只进不出，因此在数值上，只要能大约确定它的位置，就可直接忽略并挖除事件视界内部来进行黑洞演化。虽然这个方法在概念上很直接，但计算上牵涉到较特殊的处理，因此有另外所谓的穿刺法。它的想法是，既然事件视界内部完全独立于我们的宇宙，那数学上可以建构一个很有想象力的解，就是将黑洞与另一个宇宙的白洞结合起来。当然，这能否以实验证实是另一回事，但至少这代表着黑洞的奇点不过是另一端宇宙的无限远区域，在那儿的时空不存在无限大的问题，数值上，这样的处理直接且有效。目前穿刺法与挖除法是处理奇点的主流方法，另外也有以复变函数的解析延拓原理来避免奇点的尝试，虽然相当精致漂亮，但要推广到较复杂的系统可能需要更多研究。

在1995年前，即使最简单的单黑洞模拟计算也只能稳定持续很短的时间，对于十倍太阳质量的单一静态黑洞系统，还不到半秒钟，这着实困扰了当时的科学家，就好像气象预报只能预测下一秒钟一样的没有意义。人们逐渐了解，这并非数值方法的问题：将连续的演化方程写成离散数值方程的动作并没问题，问题在于演化方程式天生的不稳定，使得在目前计算机的架构下，仅能保存约十六位有效位数，因此微小的舍入误差，也会迅速以指数成长并破坏计算结果。如果日后有人能发明一台可处理无限位数的计算机，这个问题也许就不会发生了。当然科学家不会做这样的等待：1995年，日本与美国的物理学家分别提出BSSN演化方程（这是以四位发明者的姓名前缀命名）。数学上，它与原来的爱因斯坦方程等价，再配合适当的时空切片，会有较好的数值表现，误差也因方程本身隐含的耗散作用减少。在此之后的发展大抵上豁然开朗：第一个三维双黑洞对撞在1999年实现，2004年有了第一个互绕旋入碰撞前的完整轨道，并在一年后，加州理工学院、美国太空总署与得克萨斯州大学三个研究群分别发表完整的双黑洞旋入、碰撞、融合的引力波波形。数值相对论领域愈臻成熟，以大型计算机丛集进行长时间黑洞仿真已为常态，相当于一台个人计算机数年的计算量。科学家持续考虑更实际、更复杂的相对论电磁流体问题，期望描述黑洞吸积盘系统、中子星黑洞演化、超新星爆炸过程等，以研究喷流机制、引力波与电磁波耦合可能机制，以及强引力场下的基本物理研究。

技术上，数值相对论与流体、电磁场等模拟计算并无二致，都在处理耦合偏微分方程式的时间演化，除了前者牵涉到较多物理量与高度非线性的性质外，引力波测量需在离波源较远处的平坦时空中才有意义，符合弱场近似要求，因此需要较大的计算区域，以同时包含波源动力学与辐射区。这两个尺度甚至可以差到1000倍以上，因此，为了在有限计算量涵盖这么大的区域，通常使用多层网格细化方法，在需要高分辨率的区域铺设层层较细的网格以节省计算，如靠近黑洞的地方。以十层网格为例，每层分辨率差1倍，就可以涵盖约1000倍大的尺度。我们可以粗略地估计三维真空黑洞仿真的计算量与内存空间需求：需要记录的物理量约有近200个分量，包含三维切面的内禀、外禀曲率以及描述三维面切法的四个参数及其他辅助量，若每方向以128个格点描述，总共约需要近30G字节；考虑最简单的二阶数值方法，每一格点的演化只与相邻点有关，那演化方程上的每一点约需5000次的浮点运算。通常需要进行10000步的模拟，这样的总计算量约为200千兆次浮点运算，以目前（GHz）等级的中央处理器核心为例，每秒约可进行100亿次浮点运算，这样也需要将近半年的计算，若以100个核心的丛集计算机也需约一个星期才可完成。

数值相对论在引力波观测上扮演独特的角色，因为它是唯一可以计算出完整引力波波形的工具。这些精确波形将作为波形模板，与引力波干涉仪侦测器的观测信号做交叉比对，以判断是否观测到引力波，以及比对波源的性质。就好像潜水艇接收声呐信号后，利用声纹数据库比对来辨识敌舰，又好像利用指纹比对来辨识罪犯。随着引力波干涉仪精度增加，数值相对论的角色也逐渐从定性到定量，对模拟波形振幅及相位的误差要求更高，目前四阶有限差分的计算分别约可得出千分之一的相对误差，而精度提高意味着所需的信噪比成反比降低（由于引力波不易与其他物质发生作用，因此信噪比只与波源、距离以及干涉仪性能有关，天文学家就可根据天文事件预期事例数来估计观测到引力波的概率）。除了精确度之外，波形的数量也是挑战，单单一个双黑洞波形的参数空间至少有七个维度，包含质量比、自旋等，即使每个维度只取10个代表点，波形模板数量也很惊人。因此，除了数据的降维技术等其他近似方法，庞大计算量不可避免。未来的太空引力波干涉仪所需模板数量可达到百万的数量级。如果考虑包含物质的中子星系统，情况又更复杂了，包含电磁场、状态方程、光子、微中子传输方程、辐射传输等热效应，参数空间更大，若再考虑各种可能的中子星内部物质模型与参数，“维度的诅咒”势必带来计算的挑战，并驱动对更有效率的参数搜寻的研究发展。

针对双黑洞的互绕旋入、碰撞及融合波形，最直接的近似方式是搭配后牛顿方法及近距离极限方法，分别以理论计算前期互绕旋入与后期融合波形，再结合数值计算出的中段碰撞波形。德国爱因斯坦研究所在2002年后所进行的“拉撒路计划”就是这个尝试，他们借用拉撒路死而复活的《圣经》故事，生动地描述理论微扰近似在碰撞时失效，却又在融合晚期回复的过程。目前的数值计算更加成熟，可提供更完整的中段波形，使整段波形更加准确。(www.xing528.com)

从2006年起，数值相对论逐渐开始与引力波数据分析研究群建立共同语言。并在2009年后，开始正视理论或数值波形在引力波干涉仪观测中扮演的角色，此时引力波干涉仪观测已进行一段时间了，并且正要开始第六次接近一年的科学运行。其主要目标是希望结合解析与数值波形、整合研究群间的数值模拟结果、尝试建立通用的引力波数据交换格式，最重要的是将数值波形应用到地面干涉仪的观测与测试。在这一次的运行中，观测团队秘密地将仿真引力波信号“注入”到干涉仪网络中，人为地制造反射镜的移动以产生假信号，来测试数据分析团队是否能侦测出来。数据分析团队的确独立地发现了人为仿真的双黑洞碰撞信号，并且通知合作的天文台追踪该天区的后续发展，甚至还准备发表论文了。这种类似演习的盲目测试，在现代的复杂实验中是相当必要的，由于引力波观测将是前所未有的发现，宁愿错过疑似信号，也要避免误判噪声为引力波信号的可能。

除了以观测为导向的数值波形研究，另外一部分的数值相对论研究则更着重在基本物理课题，并试图解开目前尚不清楚的天文物理机制。其中一个2008年的例子，是关于粒子高速对撞形成黑洞的可能性。根据20世纪70年代基普·索恩的圆环猜想，黑洞的形成需要将足够多的质量（即能量）集中在史瓦西半径大小的球面内（史瓦西半径与质量成正比，地球质量大小的史瓦西半径只有约9毫米）。而接近光速的粒子有足够多的动能，因此融合的能量团会有足够大的史瓦西半径，并形成黑洞，这个模拟支持了古典的圆环猜想。这也是为何有些人会担心目前世界上的大型粒子加速器实验中，这类的微小黑洞产生的可能性并吞噬周遭物质毁灭世界。不过，还好科学家有另一套理论，说明这些微黑洞会被迅速蒸发掉。

最复杂的广义相对论模拟应该是包含中子星的碰撞了，牵涉到引力、电磁力及各种复杂物质状态的交互作用，这些高温高压的极端物质状态，也是高能物理或凝聚态物理领域最前沿的研究课题，甚至难以在实验室中研究，而来自深远太空的引力波可能会提供一些线索。早在中子发现前的20世纪30年代，科学家就猜测恒星内部必定有相当致密的中子核心，以支撑向心的引力坍塌。我们现在了解恒星的能量来源是核融合过程，而这一个臆测中的中子核实际上是巨大恒星死亡的结果。届时核融合将停止产生向外的压力，自此引力逐渐主宰一切，使星球核心向内坍塌并触发更剧烈的核反应，并因最后一次的膨胀或爆炸中失去大部分的质量，形成白矮星、中子星或黑洞。约小于8个太阳质量的恒星会形成白矮星，最重可达1.4个太阳质量；而小于30个太阳质量的恒星会形成中子星，更大的则变成黑洞。中子星的质量极限约在1.5至3个太阳质量，这么大的不确定性源自于未知的内部组成物质。这个不确定也反映在中子星碰撞后会形成更大的中子星还是形成黑洞的疑问。2005年，日本京都大学的仿真显示中子星碰撞合并前所产生引力波波形特征，会反映出内部组成物质的信息，这个计算再度建立起深空宏观现象与微观物质世界的联系。在宇宙中，中子星碰撞比双黑洞还要频繁，据估计，在一亿五千万光年内，大约是整个室女座星系团范围内的中子星碰撞，都有机会被地面干涉仪观测到。一旦观测到约3000赫兹并持续十分之一秒的信号，就可更加确定中子星的质量下限，并检验目前的理论模型。

现在的计算机仿真已逐渐细致到能让科学家更定量地讨论极端天文现象，如双星碰撞并产生短伽马射线暴。在最近2011年的模拟中，首次重现了直径约十几千米的双中子星碰撞融合成黑洞，并产生喷流的过程。图4-8中，在融合后的瞬间，磁场从一团混乱的炽热物质中逐渐增加至地球磁场的1000兆倍，并且向两极形成类似漏斗的狭窄通道，形成高能量喷流。最近的双黑洞系统与吸积盘的演化模拟中也观察到类似结果。虽然目前模拟的喷流能量仍远低于观测值，但还是可以提供电磁波与引力波的相关性，作为引力波天文学观测的先导研究。

图4-8　耗时将近两个月中子星碰撞模拟

在这个历时不到30毫秒的绚丽过程，显示中子星融合并形成黑洞后的瞬间，以白色线条表示的磁场迅速增强并从两极延伸出去。（感谢NASA/AEI/ZIB，M. Koppitz and L. Rezzolla授权图片使用）