物理与数学：黑洞热力学之惊人关联

介绍完了天文观测中的黑洞，我们再回头讨论一些目前还离观测很远的理论进展。

20世纪70年代伊始，彭洛斯与弗洛伊德（R.M.Floyd）便根据他们对克尔黑洞的研究结果，猜想物理过程前后的黑洞面积只会增加，同时期克利斯托杜洛（Demetrios Christodoulou，1951——）的研究结果也显示出这一点。很快地，霍金在1972年广泛证明了在古典广义相对论的架构下，黑洞从一个稳态（stationary state）经过物理过程到下一个稳态，事件视界的面积只会增加不会减少。1973年巴丁（James Bardeen，1939——）、卡特（Brandon Carter，1942——）和霍金三人更整理出了黑洞热力学四大定律：

黑洞热力学四大定律

第零定律：稳态黑洞事件视界的表面引力在整个视界上是同一个常数。

第一定律：描述两个所有参数都很接近的黑洞之间质量/能量差别的状态方程，除了一些和做功有关的项，还要加上一项表面引力与两个黑洞面积差的乘积（除以一个常数）。

第二定律：从旧稳态到新稳态，任何黑洞的事件视界面积不会减少。

第三定律：物理过程再怎么理想化，也不可能以有限的步骤将黑洞的表面引力减到零。

一般热力学四大定律

第零定律：一个处在平衡态的系统，其温度在整个系统中是同一个常数。

第一定律：描述两个所有参数都很接近的平衡态之间能量差别的状态方程，除了一些和做功有关的项，还要加上一项温度与两态熵的差的乘积。

第二定律：从旧平衡态到新平衡态，熵只可能增加或持平，不会减少。

第三定律：物理过程再怎么理想化，也不可能以有限的步骤将平衡态系统的温度减到零。(https://www.xing528.com)

和一般热力学四大定律比较，我们不难看出，黑洞的稳态模拟于热力学中的平衡态，而在稳态下可定义的物理量中，黑洞的面积和一般热力学的熵有类似的行为，表面引力则和温度类似。

其实在这之前，黑洞和热力学之间有种微妙的关系，已经是许多学者共同的感觉。在1971年间的一次和学生的例行讨论时，惠勒突发奇想：假如他把带着大量熵的热咖啡扔进黑洞，那么宇宙的熵不就变少、热力学第二定律不就被破坏了吗？研究生贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）听了以后，一时也没有答案，便把问题带回家。

几个月后，贝肯斯坦开心地告诉惠勒，他想通了。贝肯斯坦从多方面论证，都得到同一个结果：黑洞的熵就正比于其事件视界的面积。因此一个热力学系统如果有黑洞包含于其中，其总熵即为黑洞熵加上非引力部分的一般的热力学熵。咖啡掉进黑洞后虽然消失，但黑洞变大了，熵也就变多了，所以宇宙的总熵并没有变少。

在1972年莱苏什（Les Houches）夏季学校里，贝肯斯坦报告了这个他当时还未发表的想法。当时巴丁等人的黑洞热力学论文还没刊出，但该文的部分结果已为圈内人所知，因此演讲中间，引起热烈的讨论。霍金以及许多学者还是谨慎地认为，把黑洞面积和熵的“模拟”变成“正比”跳跃太大，需要更多证据与推论来支持，而在古典广义相对论下，基本上拿不出办法。在巴丁等人稍后才发表的文章中，提到黑洞表面引力和温度模拟的地方，还有很长的一段文字说明黑洞的有效温度只能为零。

不过有一个重点霍金倒是注意到了。贝肯斯坦发现，若要引入物理常数凑出熵的正确单位，除了普朗克常数以外，别无选择。于是贝肯斯坦进一步解释，由于黑洞在吸收一个粒子所增加的面积，最少是该粒子的质量乘上直径，而一个量子力学中的粒子直径可以用康普顿长度（Compton length），也就是普朗克常数除以粒子的质量来估计，所以这个最小面积增减单位，就是普朗克常数本身［也就是普朗克长度的平方——在自然单位（G＝c＝1）下］。

这下可有趣了。首先，这暗示古典黑洞热力学居然和量子物理有关。不过这在物理史上并不是第一次发生，比如说热力学的吉布斯悖论（Gibbs paradox），就和量子力学有关。其次，把黑洞面积除以常数代入黑洞热力学第一定律中的状态方程中，可以导出黑洞的温度就是事件视界处的表面引力乘上常数。不过大家已经再三思考过了，黑洞是黑的，连光都跑不出来，哪来的温度呢？普朗克常数……难道是量子效应吗？如果是的话，那假如量子涨落产生粒子对，反粒子掉进去正粒子所组成的黑洞，会是怎样的情况呢？

1974年，霍金自己找到了答案。如果把一个量子场摆在黑洞的固定背景时空中，当你研究量子场的最低能量状态，也就是所谓的真空态时，你会发现由黑洞逸出到无限远处的量子场功率流不为零，也就是说，黑洞不是全黑的，黑洞会辐射！霍金进一步发现此辐射的能谱和黑体辐射相同，其温度刚好就是事件视界处的表面引力除以2π。

这个结果一发表，同领域的学者几乎都不服气，因为霍金论文的数学推导虽然清楚，结果却出人意料。当时大家公认把量子场摆在类似膨胀宇宙之类会随时间变动的时空背景之下，是会把量子场激发出粒子的［这是帕克（Leonard Parker，1938——）在1968年的创见，现在广泛应用在宇宙学中］。不过霍金研究的黑洞基本上是静止的时空背景，怎么会“抖”出粒子呢？物理学家便各显神通来检验。这些心得在1975年和1976年陆续发表［安鲁（William Unruh，1945——）提出安鲁效应的名作也是其中之一］，大家终于肯定霍金是对的。因此我们现在把黑洞辐射称为霍金辐射，其温度称之为霍金温度。

质量愈小的黑洞，半径愈小，表面引力愈大，霍金温度愈高，因此愈重的黑洞反而温度愈低、愈稳定。换句话说，黑洞的比热是负的，喂给黑洞的能量或质量愈多，它的温度会愈低。负比热其实是一般引力系统的特性，和一般课本里的热力学系统很不一样。负比热系统的热力学熵本来就不和体积成正比（non-extensive），也无法直接累加（non-additivity），也就是说，两个黑洞合体后的熵，并不是合体之前的两个黑洞各自的熵的和。因此黑洞的熵和面积而非体积成正比，并不奇怪。我们现在已经知道，一般无奇点的引力系统或任何有长程作用力的系统，熵也不和体积成正比。

之后贝肯斯坦进一步以玻尔（Niels Bohr，1885—1962）和索末菲（Arnold Sommerfeld，1868—1951）旧量子论（old quantum theory）的精神，尝试以黑洞原子模型来描述黑洞的行为。虽然这个模型目前还没有办法由实验或观测来验证，但其中提到的重点，像黑洞的主量子数为面积、黑洞的原子“能”（面积）谱是离散的，以及各“能阶”的简并度正比于数学常数e的熵次方，都成为日后用量子物理描述黑洞自由度的基本条件。