物理数学的火花：量子起伏与宇宙微波

量子起伏（quantum fluctuations）在探讨宇宙本质及大尺度结构的形成上，扮演了非常重要的角色。我们可以将它分成两个部分来讨论：“量子”与“起伏”。试想一个完全均匀、没有瑕疵的能量分布，即使处在宇宙膨胀的状态下，也不会产生任何结构。所以我们必须先在宇宙中播撒一些种子来破坏这种对称，才可能产生结构。这个动作的关键就在“起伏”。可是，使用与量子效应相对的古典起伏（classical fluctuations）不行吗？量子起伏和古典起伏究竟有何不同？那就要看是哪一种起伏，可以成功地解释潜藏在CMB里的微弱信息。

暴胀造成宇宙快速膨胀，空间里所包含的一切物质结构就像磁单极一样，都被稀释到几乎真空的状态。可是今天的宇宙却充满着星系和大尺度结构。那么，几乎真空的宇宙是如何演化出目前多彩多姿的样貌呢？就像倾盆大雨后所留下的小池塘一样，假以时日便慢慢有鱼出现，我们会好奇鱼是怎么来的？同样的，形成今日宇宙里大尺度结构的“种子”究竟是什么？这包含了两个问题：种子从何而来？演化的过程又是什么？

再以平静的池塘为例。塘内水面平滑如镜，若丢入一颗小石头激起了波澜，但过一阵子后，水面依旧趋于平静，并不会因此而形成大型旋涡或水柱。宇宙也是如此，即便早期宇宙里有一些能量的扰动或起伏，也未必会形成大尺度结构。当暴胀结束后，再热化过程产生了物质能量，那么一开始的能量涟漪从何而来？倘若是一般的统计误差，譬如热平衡系统的温度起伏，那这些能量起伏是否足以演化成今日的大尺度结构呢？或者一开始的能量起伏，是由不同机制所产生的吗？若真如此，它们的特性可以和热系统的温度起伏区隔吗？如果宇宙里没有任何起伏，那么今日大尺度结构的种子从哪里来？若宇宙里充满了能量起伏，那又如何产生这种能量起伏呢？关键就是暴胀场所产生的量子起伏，即暴胀起伏（inflation fluctuations）。

可是我们要如何得知这些曾经发生过的事呢？若把宇宙比喻为一个池塘，CMB就相当于淹满池塘的水，而水面的波纹便是清风吹拂的记忆。因此，在早期宇宙中曾经发生过大大小小的事件，都被忠实地记录在CMB里。就如同天文学家从恒星光谱探索星体的结构与发展一样，宇宙学家则从CMB的频谱里搜寻宇宙发生过的事。

我们可从CMB的数据里得知，早期宇宙的能量分布就像充满杂乱小水波的池塘。可是这些细微的起伏又有很特别的特征。如果做频谱分析，我们会发现宇宙在不同频段的行为都是一样的。简单地说，驱动暴胀的纯量场具有量子起伏，导致宇宙里每个区域结束暴胀的时间不一致。由于这些区块在宇宙早期是彼此没联系的，而暴胀结束的时间不同，会造成下一个阶段“再热化”的启动时间不同，所以就造成了不同区块的温度略有差异。先结束暴胀的区块使得再热化过程也提早结束，进而启动后续的膨胀降温程序，导致温度降低一些。同理，晚结束暴胀的区块，温度就相对高一些。由于这种进入下一阶段的初始条件并无规律可循，自然造成每个区块的温度起伏，也就解释了CMB上温度的起伏现象。

但是，因为引力和空间膨胀的影响，量子起伏所造成的现象远比我们所想象的要复杂许多。不同时期的宇宙，由于组成与膨胀速率不同，也会在CMB里造成不同的纪录。简单分类的话，暴胀起伏会造成物质能量密度及空间的扰动（即引力波）。比较特别的是，引力波的信号不受环境干扰，可以一直持续至今。另一方面，从物质的分布来看，量子起伏如同一般光波或声波可被解析成很多不同频率的振荡模式一样，也可以被解构成不同频率的波动。因为物质大致上均匀分布在空间中，此时空间的急剧膨胀改变了物质的分布，也延展了所有频率的量子起伏。但当那些低频扰动的尺度超过视界距离后，它们就好像被冻结起来一样，不再继续振荡。这其实不难理解：因为视界的大小约等于光从宇宙创生之后所走的距离，我们可以把视界的大小，当成可传递信息的最大范围。

因此，当低频暴胀起伏的波长远大于视界的大小时，代表在这波动所及的范围内，不同部位之间的物质彼此没有联系，自然无法协调一致地振荡。由于物质能量的分布会随宇宙膨胀而变动，因此虽然暴胀扰动的波长和视界涵盖的范畴都会随时间胀大，但是彼此改变的速率也会随不同的宇宙演化阶段而互有消长。在暴胀时期，长波长的量子起伏会急剧展延，迅速穿越视界而被冻结起来。可是之后的演化阶段，视界范围的增长比这些被冻结的起伏还快。于是，这些尺度原本超越视界的暴胀起伏，就再度跨入可观测宇宙的范围内，形同被解冻释放，如大梦初醒般复苏活跃起来，顺势成为扰动物质分布的源头，造就了一连串的太初声波（primordial sound waves）。(www.xing528.com)

由于原本留在视界内的物质已演化成不同状态，因此在受到暴胀起伏干扰时，会形成不同频率的振荡。当早期宇宙仍处于物质匮乏的辐射主控（radiation-dominated）年代时，复苏的暴胀起伏没能造成明显的声波。但在进入物质主控（matter-dominated）的阶段后，宇宙产生了愈来愈多的物质，加上光与各物质正负离子间的交互作用，便形成了一个早期的等离子系统。于是，在不同时间重返视界的暴胀起伏，便在各频率上造成不同的声波振荡，也在太初等离子里引起不同振幅的温度起伏，而这些特殊的波动，全都记录在CMB里。今天，这个拥有特殊振荡样貌的CMB异向性功率谱已被侦测到。由于其他关于宇宙大尺度结构形成的理论，都无法在CMB上产生像这样特殊的振荡功率谱，因此这功率谱自然成为验明暴胀理论的证据之一。

另外值得一提的是，如果我们将整个宇宙视为一个超级共振腔，那么不同频率的太初声波，就可对应到此超级乐器所发出的各式声音。由于两点间的距离长度取决于不同弯曲形态的几何特性，因此在CMB功率谱上，最低频基音（也就是以全宇宙的视界距离作为来回完整振荡一周的最大驻波）的波峰位置，就可直接反映出空间的弯曲形态，进而揭露空间的曲率常数值。因此，在大爆炸模型经历了将近一世纪的发展后，我们终于在威金森微波异向性探测者号（Wilkinson Microwave Anisotropy Probe，即WMAP）所侦测到的CMB功率谱中，首度确认了大尺度的宇宙是可以用欧几里得几何描述的平坦空间。

此特殊振荡形态的功率谱，除了作为暴胀学说的明证外，理论所预测第一个波峰的位置和宇宙的曲率常数有关。对此功率谱的数据分析指出：我们宇宙的曲率常数等于零，代表欧几里得的平坦空间可描述大尺度宇宙空间的几何特性。

图2-2　WMAP数据所绘出的CMB异向性功率谱

在此必须对为何不使用古典起伏稍加说明。如果宇宙一开始是没有能量起伏的，在产生物质之后，借由与辐射之间的交互作用，建立起热平衡，成为一般具有温度起伏的热平衡系统。但是这种能量起伏就没办法用来解释宇宙背景辐射所观测到的声波现象。暴胀的量子起伏，被宇宙膨胀拉长，超越视界后遭到冻结，之后再解冻，并对后来的宇宙内含物产生一些宇宙声波效应，也被记录到CMB上。这么精致的物理机制，也可以解释观测到的数据，不得不令人更信服该理论的正确性。

在暴胀理论出现前，宇宙学家也曾设想，利用早期由大爆炸所产生的热系统能量起伏作为大尺度结构的种子。可惜经计算之后发现，那不可能产生今天的宇宙物质结构。暴胀理论有一项很重要的预测，就是它能满足宇宙太初能量起伏的初始条件。这让宇宙暴胀成为目前解释结构形成的最佳理论。另一项暴胀的重要预言，则是引力波所产生的效应。太初引力波的侦测，不仅可以确认暴胀理论的正确性，更是爱因斯坦广义相对论的最后一块拼图。