引力能与对称守恒：解析爱因斯坦场方程的能动张量

能量和动量的守恒概念，对广义相对论的发展产生过重要的影响，并且，探讨关于引力场本身所具有的能量和动量之特性，对19世纪物理学的发展起到了很大的作用。

爱因斯坦在1912年到1915年之间发展广义相对论的时候，曾经考虑满足守恒定律的引力场能量和动量，因此，在尚未得到爱因斯坦方程之前，他就已经提出了引力场的能量和动量的表达式。由于他曾经困惑于自己所谓“洞”的论点，以至于怀疑一个普遍协变的引力理论是否会存在。对此他提出利用能量守恒的条件，来选择一个最恰当的物理坐标系统。在1915年11月25日的论文中，爱因斯坦认为他找到了引力场的能动“张量”。

事实上，爱因斯坦的引力场能量、动量表达式是一个赝张量（pseudotensor），并且薛定谔和鲍尔（Hans Bauer）都曾对爱因斯坦的赝张量提出批判，因为它可以给出完全没有物理意义的结果。除此之外，洛伦兹和列维－奇维塔提出只有爱因斯坦张量是最合适的引力能——动量密度，由此，爱因斯坦场方程可以被解释为引力场和物质场的能动张量之和为零。从现代对广义相对论的理解上来看，这个看法在某种程度上是正确的。只不过实际的情况要比原先想象的复杂很多，故事不单单只是能动张量的密度而已。

虽然爱因斯坦在1914年时曾采用过变分方法，但这不是他寻找场方程的主要途径。希尔伯特首先发现了一个协变的拉格朗日量（Lagrangian），并提出一个与微分同胚不变性（diffeomorphism invariance）有关但是相当复杂的引力场“能量矢量”，这个矢量满足守恒定律。对数学家希尔伯特来说，他所关心的是一个理论的数学性质，而非其中的“细节”。如，守恒定律是否成立，远比守恒量的精确形式是什么来得重要，就如同，方程式解的存在和唯一性，远比解本身来得重要。

后来，克莱恩认知到希尔伯特的“向量”和爱因斯坦的“赝张量”两者之间具有关联性，只不过当中还有许多问题尚待厘清。然后，希尔伯特和克莱恩将问题交给了诺特（Emmy Noether，1882—1935），而她最终解决了迷惑。诺特在1918年发表的研究结果，虽然被遗忘了很长的时间，但是其内容与近代理论物理的发展中最重要的概念息息相关。

诺特最初的研究目的是为了厘清引力场能量的相关议题，一开始，她的研究目标就是希尔伯特的能量矢量。在1918年写给希尔伯特的信中，克莱恩感谢诺特的帮忙，才使他更清楚地理解引力能问题的本质。克莱恩提到，在向诺特提及有关希尔伯特的矢量和爱因斯坦的赝张量之间的关联时，他发现诺特不但已经注意到这个问题，且早在一年前就获得了相同的结果，只是她没有正式公布。(www.xing528.com)

希尔伯特在回函上说，他完全同意克莱恩的说法，其实早在一年多前，希尔伯特就请诺特帮忙厘清有关他的能量定理中一些解析问题，当时就发现他提议的引力能和爱因斯坦的版本间是可以转换的。此外，希尔伯特还曾经断言，在广义相对论中，并不存在有合适的引力能密度表达式，他把这个事实视为广义相对论的一个重要特征，这个断言呼应了洛伦兹和列维－奇维塔的结果。诺特则在数学上严格证明这个预测，她证明，缺乏适当的引力能密度这个性质，不仅发生于爱因斯坦的广义相对论中，实际上，所有具有时空微分同胚不变性的引力几何理论，都没有适当的能量——动量密度表达式。

这个结果其实并不奇怪，等效原理意味着一个引力根本的特性，只考虑一个点无法判断是否有引力场的存在。这个性质说明了，引力的能量，或者更广义上来说，所有物理系统（不忽略掉引力作用）的能量，都不会是局域性（local）的。因此，引力能只能是准局域性（quasilocal）的。换言之，我们无法计算在每一个点上的引力能，因为我们总是得到零值；而实际上，我们只能计算在一个由封闭的二维曲面所包含的范围内之引力能，并且结果只跟曲面上的引力场有关。而引力能的准局域表示式和相关性质的研究，是本文作者的科研主题。

如果说要选一个词来描述20世纪理论物理的进展，最贴切的选择就是“对称”（symmetry）。绝大部分理论物理的概念中都包含对称性，如规范对称，奠定了电磁力、弱相互作用力和强相互作用力的理论基础。而诺特在1918年的研究成果中最重要的，就是有关对称的两个定理。诺特第一定理讨论总体（global）对称性，每一个总体对称都会伴随一个守恒量。例如，时间平移对称相应于能量守恒，空间平移对称对应动量守恒，而转动对称则代表角动量守恒。诺特第二定理考虑局域（local）对称性，每一个局域对称会对应于一个微分恒等式。对于规范不变性，通过诺特第二定理所找出的恒等式，是现代规范理论中很重要的根基。而这些结果，都是从引力能的研究时得到的。不幸的是，诺特的工作被忽视了将近50年。但从本质上来说，近代理论物理的建构，都是诺特定理的应用。

(1) 分角（arcminute）和秒角（arcsecond）是天体观测上常用的角度单位，一个圆分成360度角，每度角又分成60度分角，每分角则再细分成60度秒角。