爱因斯坦对统一场论的追求及未完成工作

在完成广义相对论后，爱因斯坦很快将他的研究热情投入统一场理论。那时，物理学家所知道的作用力只有两个：电磁力和引力。所以早期统一场理论的目标是整合电磁场和引力场，这两个长程作用力是否有一个共同的起源？即使后来弱相互作用力和强相互作用力陆续被发现，爱因斯坦在往后的30年间，也只热衷于统一电磁场与引力场的理论，他甚至期待，统一场理论能说明量子物理中的所有现象。

外尔在1918年也利用几何的方法来统一电磁作用，而提出规范（gauge）的想法，爱因斯坦一开始很感兴趣，但很快他就看出其中的问题。外尔认为，在时空几何中两点之间，除了度规之外，还可以加上额外的自由度。为了包含电磁场，外尔就加入了一个称为规范场的“向量”自由度，数学上来说，接近于度规的协变微分等于度规乘上一个向量，而几何上的理解，就是在平移的过程中，长度和夹角会改变，而外尔的理论就是长度的改变对应于电磁场的规范变换。

这个理论很复杂，会导致高阶的场方程，从物理的角度来说是不合理的。爱因斯坦在外尔文章发表前就读过它，甚至在刊登的文章后面写了一个附笔，提出质疑：在这个理论中，标准尺的长度和标准钟的速度会依赖于过去的历史。文章最后，则是外尔对爱因斯坦质疑表示不认同的回复。虽然外尔的尝试最后没有成功，但他规范不变性的想法后来深深地影响了规范场论的发展，如果把外尔的想法延伸到复数系统，电磁的规范场实际上对应的不是长度的大小，而是其相位。

此外，爱因斯坦也对卡鲁扎在1919年提出的高维时空方案深感兴趣，还曾写过几篇相关论文。卡鲁扎的论文发表在1921年，而克莱恩（Oskar Klein，1894—1977）也在1926年独立提出相同的想法。卡鲁扎考虑五维时空来统一引力场与电磁场。跟四维时空相比，五维时空的度规多了五个自由度，其中四个被考虑用来表示电磁作用。换言之，在五维时空架构下，电磁实际上是引力的一部分。然而，我们没有办法解释另外一个自由度的物理现象，如果要求它为零，又会给出令人讨厌的约束条件。并且，这个额外的第五度空间必须很小，至少我们看不见它的存在。

事实上，爱因斯坦最热衷考虑的统一场论方案，是在时空几何中加上独立的联络（connection）。时空几何中的度规是用来决定时空中两点间的长度和两向量间的夹角，而联络是决定如何将一个向量“平移”（parallel transport）到另外一点去。广义相对论所采取的数学称为黎曼几何，其中，联络没有额外的自由度，完全被度规所确定。爱因斯坦考虑更一般的几何，有独立的联络自由度，也伴随着一个新的几何量，称为挠率（torsion）。新的自由度可容纳更大的物理系统，而爱因斯坦的目标当然是引力加上电磁力。(www.xing528.com)

他从1928年起考虑了绝对平行（distant parallelism或teleparallel）的架构，其框架虽然不是一个真正有效的方式来统一引力和电磁力——主要原因是无法得到正确的电磁场方程，但这个理论有一些好的特性：（1）引力能的局域化；（2）时空平移的引力规范理论。除此之外，爱因斯坦也曾考虑过度规不再只是对称的张量，而它的反对称分量个数刚好与电场加上磁场的分量个数相同。然而，他尝试用度规的反对称分量表示电磁力，也因为无法得到满意的场方程式而宣告失败。

爱因斯坦对统一场理论的追求，始终没有获得满意的结果。直到去世前，他还惦念着自己在统一场理论方面未完成的工作和相关手稿。有人认为，爱因斯坦把人生最后的时间“浪费”在对统一场理论的追求，这个批评太过武断。除了爱因斯坦外，诺德斯特罗姆、希尔伯特、外尔、爱丁顿、薛定谔（Erwin Schrödinger，1887—1961）等人，都曾经尝试用几何的框架建构统一场理论。虽然电磁力和引力统一的道路十分艰难，一直到现在也未能有所成，但物理学家在电磁力、弱相互作用力与强相互作用力的统一上，则已获得很卓越的成果，其中规范对称的概念扮演着至关重要的角色。

引力场也曾以规范理论的概念来讨论，其中的规范对称变换为平移与转动，平移对称所对应的守恒量为能量、动量，而转动则为角动量或自旋（spin）。同时，从作用量分别对度规和联络的变分会得到两组场方程式。有趣的是，由规范理论思维所得到的场方程式几何和物质的对应应该是，能动张量产生时空挠率，而自旋则产生时空曲率。但是，在包含广义相对论的引力规范理论中，预期的几何与物质间的耦合关系刚好颠倒过来，赫尔（Friedrich Hehl，1937——）曾经在他的报告和文章中引用中文的成语“张冠李戴”来形容这个性质。除此之外，爱因斯坦在统一场理论追寻中所使用的想法和技巧，直到今天，还持续地被应用在处理当代物理学的前沿问题上。