相对论百年故事：物理与数学的火花绽放

广义相对论的诞生——也就是爱因斯坦推导出正确的引力场方程，在1915年的11月。爱因斯坦分别在该月4日、11日、18日和25日发表了有关广义相对论的论文，从考虑比较简单的特殊系统再推广到一般情形，逐步改进结果，而正确的引力场方程则出现在25日的论文中。

爱因斯坦意识到1913年与格罗斯曼《纲要》论文中的那次尝试几乎是正确的，其中所缺乏的是如何正确地将公式中的时空曲率和质量分布关联起来。起初，他也重蹈了格罗斯曼的错误，只专注于将不同形式的里奇张量组合对应到物质的能动张量，当然，所得到的理论依然是不自洽的。爱因斯坦后来发现了这个矛盾，并试图修正。在1915年11月的论文中，他从比较特殊与简单的能动张量形式开始，一步步地修正自己的理论，并在25日的论文中提出了正确的引力场方程式。

引力场方程式中的几何部分，除了里奇张量外，还需要加上一项包含曲率纯量的贡献，将曲率纯量乘上同是二阶张量的度规，这正是在《纲要》论文中所欠缺的部分。最后，将里奇张量、曲率纯量和度规张量做一个特定的组合，定义了现在称为爱因斯坦张量（Einstein tensor）的二阶张量，而引力场方程，被称为爱因斯坦方程，便是时空几何的爱因斯坦张量等于物质的能动张量（忽略了比例常数）。这组方程告诉我们物质的分布如何造成时空的弯曲，时空弯曲的程度经由测地线方程给出加速度，而根据等效原理，我们就知道引力作用大小。

爱因斯坦很快地重新考虑了太阳周边时空的弯曲，如何影响行星运动和光线的传播。他重复进行了三年前和贝索关于水星轨道近日点进动的计算。他很高兴地发现，得到的结果和天文上已知的观测数据是相符的。他也重新计算了光线通过太阳附近，因引力场的影响所造成的路径弯曲，修正了他在1911年的预测结果，新的计算数值是先前结果的两倍。

希尔伯特有关引力场方程的论文，也是在这个时间点完成的，所以一直都有到底是谁先得到引力场方程的争论。爱因斯坦首次提出正确的引力场方程是在1915年11月25日，但就在五天之前，也就是11月20日，著名的数学家希尔伯特在哥廷根（Gottingen）的报告中，介绍了他对广义相对论的研究成果。希尔伯特的研究主要目的是考虑引力与电磁力的整合模型，他从作用量（action）出发，利用变分原理（variational principle），进而分析理论的数学性质。

变分方法是在牛顿力学系统中被建构出来的，希尔伯特将它用到引力与电磁的整合理论上。作用量是个纯量，而且当时已经知道电磁场的作用量形式。对于几何所代表的引力部分，希尔伯特很自然地猜测它的形式是曲率纯量对时空的积分，将此作用量对度规做变分，就可得到电磁场产生引力场的爱因斯坦方程。这是一个非常简洁明了的方法。关于希尔伯特报告内容的论文，则正式发表于来年3月，在论文的印刷版本中，希尔伯特也推崇爱因斯坦的贡献：“引力微分方程，在我看来，符合爱因斯坦在他的论文中所建立的广义相对论大纲。”

爱因斯坦和希尔伯特论文发表的时间十分接近，导致了谁先孰后的争议：发现引力场方程应归功于爱因斯坦还是希尔伯特？有些物理学家和科学史家认为希尔伯特首先发现引力场方程，而爱因斯坦则是在几天之后独立地发现了它。(www.xing528.com)

希尔伯特参与广义相对论的研究是始于1915年6月，那年夏天，爱因斯坦访问了哥廷根，并发表了一系列演讲介绍他的引力理论。他和希尔伯特对理论中的问题进行深入地讨论。这是他们首次碰面，爱因斯坦对希尔伯特有高度的好感，他曾说过：“我在哥廷根的一个星期，认识了他并且喜爱他。我举行了六次两小时长的演讲介绍新的引力理论，最让我高兴的是，我完全说服了那里的数学家。”

在接下来的几个月里，希尔伯特深入研究爱因斯坦的相关理论，他很快就找到了一个优雅的数学处理方法。他写信给爱因斯坦，告诉自己的研究成果，而爱因斯坦则要了希尔伯特的笔记与计算的副本。爱因斯坦在11月18日前显然收到了这些笔记副本，因为就在这一天，他回复希尔伯特说：“你所建立的系统，据我观察，与我在最近几个星期发现并且在学院报告的结果是完全一致的。”没有证据可以判断希尔伯特给爱因斯坦的笔记中，是否已有爱因斯坦方程，如果有，那么爱因斯坦就是在自己提出这个方程（11月25日）前就已经知道结果。

另一方面的说法是，明确的引力场方程事实上并没有出现在希尔伯特给爱因斯坦的笔记副本里，甚至也没有在他11月20日的报告中，希尔伯特是在稍后的论文校对过程中，且是在看了爱因斯坦的论文后，才将爱因斯坦方程式加入自己的论文当中。这两种看法，在1997年哥廷根大学图书馆公布有关希尔伯特在12月6日所做的论文校对相关文件后，更添加了神秘色彩。

希尔伯特的校对版论文内容和最后正式发表的版本有些不同，最特别的是，在校对版文件中，可能包含爱因斯坦方程式的半页手稿被人撕走了。这种状况使得真相更加扑朔迷离，阴谋论的说法层出不穷：难道是爱因斯坦的支持者摧毁证明方程存在的证据？抑或希尔伯特的支持者想要掩盖方程式不存在的事实？希尔伯特的变分方法，原则上可以得到爱因斯坦方程式，但是，这个变分推导是很复杂的，希尔伯特当然有能力完成计算，问题是他是在11月20日的报告前就明确地推导出爱因斯坦方程，还是他在后来才加到正式发表的论文里？

无论真相为何，爱因斯坦和希尔伯特对广义相对论的建立，都扮演着极其关键的角色。爱因斯坦的物理图像清晰，动机明确，虽然所需的数学基础和一些疑惑困扰了他许多年，但终究达到目的；希尔伯特经由爱因斯坦的介绍开始进行引力研究，他的数学知识雄厚，利用作用量和变分的方法，给引力场方程的推导开辟出一个在数学上非常简洁的方法。精确地说，爱因斯坦方程对应于时空曲率的极值，也就是最大或最小值。这个方法是现代物理学家建构理论的基本手段，影响甚远。他们两人之间在1915年进行的相互交流与讨论，肯定对彼此的研究产生正面的影响。谁先推导出引力场方程的争议，一开始在两人的内心，也确实激起短暂的不愉快情绪。然而，在他们往后的频繁交流过程中，几乎看不出这个争议对他们的友谊造成任何嫌隙，或许他们终究认为，这件事并不是个值得浪费时间和友谊的议题。

值得一提的是，诺德斯特罗姆（Gunnar Nordström，1881—1923）也曾在1914年推广了牛顿引力能势方程，提出一个纯量场的引力方程式，从广义相对论弯曲时空几何的观点来看，这个纯量场理论所讨论的是一类称为共形平直（conformally flat）的时空，这类时空几何是在平直时空度规上乘了一个共形变换函数，而诺德斯特罗姆理论的纯量场基本上就是这个共形因子。可是，这个理论并无法解释水星轨道近日点的进动，也无法预测光线路径的弯曲。有趣的是，诺德斯特罗姆于1914年在电磁理论的向量势中引进第五维度的分量，尝试建构一个统一电磁理论和他的纯量场引力理论。这是包含引力内在统一理论的滥觞，比卡鲁扎（Theodor Kaluza，1885—1954）在1919年尝试统一电磁理论和广义相对论所引进的五维的弯曲时空几何，更早地提出额外空间维度的概念，高维时空观念在现代的理论物理，特别是超弦理论中，是一个很重要的时空背景。