相对论百年故事：探索广义相对论的发展

爱因斯坦在大学时期是一个相当古怪的学生，常常逃学，成绩并不突出，最后勉强跨过毕业门槛。他大部分的时间和精力，都致力于独立研究物理学中最前沿的问题。爱因斯坦自己说过，他旷课的时间绝大部分待在家里，以宗教般狂热潜心研究理论物理。至于考试，爱因斯坦则依赖他的同学格罗斯曼（Marcel Grossmann，1878—1936）在上课时所做的笔记。

因为爱因斯坦经常缺课，再加上时常不怎么尊重师长，使得他在授课老师心中留下了不良的印象。他的物理学教授韦伯（Heinrich Friedrich Weber，1843—1912）曾经责备他说：“你是一个很聪明的孩子，爱因斯坦。你非常聪明，但是你有一个很大的缺点，就是永远听不进别人对你说的任何事情。”

事实上，在小学至高中时期，爱因斯坦都是个好学生，特别是他在数学上的表现曾受到高度的关注。但是，当他考上了苏黎世联邦理工学院（Federal Polytechnic Institute in Zurich）后，他对课业方面则采取知道就好的态度。比如，他很少专注于闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）教授的课程，甚至多次逃课。闵可夫斯基曾经称爱因斯坦为“懒狗”。许多年后，对于爱因斯坦发表的狭义相对论，闵可夫斯基的评论是“我真的不敢相信他能够做到”。

广义相对论所讨论的，是自然界中的引力作用。引力，是最为人类所熟知的作用力，我们很容易就能观察到周遭物体总是向下掉落的现象，这就是地球所产生的引力作用的结果。牛顿（Isaac Newton，1642—1727）首先理解到，万有引力不只是造成地球上万物会向下掉落的原因，也是天体中星球运行的作用力来源。他写下了质量如何产生引力的万有引力公式，再加上他所提出的物体运动遵从的三大运动定律，构成了牛顿力学的体系，主导我们对物理的认知达数百年；直到爱因斯坦相对论的奠定，我们对这个物理领域的理解，才又往前跨出了重要的一步。而广义相对论就是牛顿万有引力理论的推广。

爱因斯坦广义相对论的理论基础，起源于一个被称为“等效原理”（equivalence principle）的基本概念。这个想法出现在1907年，根据爱因斯坦的说法，他是某天坐在伯尔尼专利局办公室里得到了这个灵感。等效原理的基本概念很简单，就是当一个人在自由坠落（free falling）的时候，他是感受不到自己的重量的。自由坠落是一个加速运动状态，而物体的重量则是引力作用的结果；因此，等效原理表明这两种物理现象间有一定的关联性，也就是引力作用原则上等同于加速度。沿着这个想法，爱因斯坦有了更深的思考，引导他确立起一个革命性的引力理论的方向。爱因斯坦曾经说过，得出等效原理是自己一辈子中感到最快乐的想法。

以等效原理为出发点，爱因斯坦开始逐步地建构广义相对论的殿堂。当然，这个过程不可能一蹴而就，中途遭遇了重重困难。从1907年等效原理的想法出现开始算起，到1915年底广义相对论的诞生，在这八年的时光中，爱因斯坦做过了许多不同的尝试，在修正错误中摸索自己的方法，有时答案几乎已在眼前，可惜却因为某个错误的理解而失之交臂。在广义相对论发展时期，爱因斯坦的职业，也从伯尔尼的专利局职员，转变成苏黎世大学的理论物理副教授、布拉格大学教授，最后又回到了苏黎世理工学院。

等效原理指出，引力可以被看成是加速度，因为引力在空间中无所不在，所以必须引进适当的物理量来表示“加速度场”。此外，狭义相对论提出了一个重要的新概念，指出在牛顿力学体系中的一维时间和三维空间不再是各自独立的。洛伦兹（Hendrik Lorentz，1853—1928）已经得出了在两个相对等速运动的观察者之间，所测量到的时间和长度的转换关系，也就是说，时间和空间必须被看成一体，形成一个被称为“时空”（spacetime）的概念。闵可夫斯基提出适用于狭义相对论的四维时空数学架构，而爱因斯坦则首先在四维平直时空上思考新的引力理论。在布拉格时期，他尝试相对简单的纯量（scalar）理论，他将光速视为一个空间函数，并预期这个纯量函数会如同牛顿万有引力理论中的引力势一样，可以表示引力场的大小。

不过，这个尝试最后并没有成功，而且爱因斯坦也开始理解到，单单用一个纯量不足以表示引力作用。在从布拉格回苏黎世的前后，他已经开始考虑引力的张量（tensor）理论，思考使用时空的度规（metric）来描述引力场。在四维的时空，度规是一个四乘四的对称矩阵，所以有十个分量，决定时空中长度和角度的大小。以直觉的图像来说明爱因斯坦的新方案，就是用时空的弯曲程度，来表示引力场的大小。时空弯曲愈大的地方，加速度愈大，也代表引力愈强。

一个完整的引力场理论包含两个部分：第一部分需要知道物质如何产生引力场，在牛顿的理论中亦即万有引力方程。第二部分是引力场如何作用在物体上，因而改变物体的运动状态，在牛顿的理论中就是第二运动定律。在广义相对论弯曲时空的框架下，引力如何作用在物体的部分相对容易解决，物体在弯曲时空中运动所走的是最短路径，而最短路径在数学上可由测地线方程（geodesic equation）算出。因此，广义相对论的建构中最核心的问题就是，必须推导出物质如何弯曲时空的引力场方程。

尽管爱因斯坦对于建立新的引力理论的物理直觉是清晰而深刻的，但是要将他的想法具体地实践出来，需要一个全新的数学架构。讨论弯曲时空结构、现在称为“微分几何”（differential geometry）的数学工具，便成了广义相对论所需要的数学平台。但遗憾的是，爱因斯坦一开始并不十分熟悉微分几何，以至于迟迟无法构建出一个具有一致性的理论。回到苏黎世后，他向同学格罗斯曼再次寻求帮助，他拜托老同学：“格罗斯曼，你一定要帮帮我，否则我会疯了。”(www.xing528.com)

爱因斯坦开始和格罗斯曼合作，埋首于广义相对论的建构，这段期间有关爱因斯坦的思想脉络和工作内容，均详细地记载于被称为《苏黎世笔记》（Zurich notebook）的档案中。经过了一段时间的努力，爱因斯坦和格罗斯曼终于在1913年发表了著名的《纲要》（Entwurf）论文（完整论文题目为：Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation），这篇论文分为物理与数学两部分，分别由爱因斯坦和格罗斯曼撰写。

然而，他们两人在这篇论文中都犯下了错误，而这些错误全是因为他们对弯曲时空的数学没有能够全盘掌握。在这个新的数学领域，大数学家黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）虽然早在1854年曾发表他对弯曲空间几何的研究成果，但对爱因斯坦和格罗斯曼这样的新手来说，只能通过可获得的数学文献，特别是意大利的数学家如里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro，1853-1925）以及列维－奇维塔（Tullio Levi-Civita，1873—1941）、比安基（Luigi Bianchi，1856—1928）等人的论文，对弯曲空间的数学工具有粗略的了解。但是，他们尚未完全理解弯曲时空的数学公式的真正含义，以及它在自己新的引力场理论当中所扮演的角色。

一个张量形式的引力场方程式，必须建立起物质和弯曲时空几何的物理关系；对于物质的部分，在狭义相对论之后，物理学家已经知道能量（即质量）与动量在等速坐标变换下的转换关系，并且将它们统合成为二阶的“能动张量”（energy-momentum tensor），而能动张量就是产生引力场的根源。对于弯曲时空的部分，因为度规代表引力势，所以预计它的二次微分会出现在引力场方程式中，满足这个要求的候选者包含有：表示时空曲率（curvature）的四阶黎曼张量（Riemann tensor）和它的可能“缩并”（contraction），包括二阶的里奇张量（Ricci tensor）及曲率纯量（scalar curvature）。

格罗斯曼知道几何里奇张量和物质能动张量都是二阶张量，并且都各有十个分量，正因为这些吻合的特性，很自然地，他提议广义相对论的基本引力场方程为里奇张量等于能动张量（除了一个比例常数，我们将它忽略以简化讨论）。这个提议已经很接近答案了，但可惜还是不正确。如果他们更仔细地分析这个方程的特性，应该有可能纠正其中的错误。这个公式的最大问题是它的不自洽性，也就是说，这是一个不可能的等式。在几何部分，黎曼张量必须满足一个现在称为“比安基恒等式”的约束，如果将这个约束套在格罗斯曼所提议的引力场方程式上，就会发现得到的结果和物质必须符合的能量和动量守恒定律相冲突。

当然，这个矛盾对爱因斯坦和格罗斯曼来说不是显而易见的，他们的计算和推理可不很简单，而且在当时比安基恒等式也并不是众所周知，除了意大利之外，几乎并不为人所熟知。不只是格罗斯曼和爱因斯坦不知道，公平地来说，在他们的论文发表之前，当时德国的数学家，无论是希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）、克莱恩（Felix Klein，1849—1925）或外尔（Hermann Weyl，1885—1955），都不会比爱因斯坦和格罗斯曼知道得更清楚，在那个时候可能只有列维－奇维塔知道这个恒等式。不过，我们还是应该说爱因斯坦是幸运的，因为格罗斯曼知道的数学知识，足以完成一个良好的广义相对论初始“纲要”。

当时爱因斯坦认为他们的理论还有另一个缺陷，他们的方程似乎有个“洞”。爱因斯坦所谓“洞”的论点就是，对于给定的引力场源，他们的方程似乎不能决定“唯一”的弯曲时空几何形状。此时，爱因斯坦尚未能理解到这个“洞”其实只是一个虚构的想象，时空几何事实上是唯一的，但它在数学上的表象是依赖于所采取的坐标系统。爱因斯坦企图在方程式中修复这个想象的缺陷，而这些徒劳无功的追求，使他发表了许多错误版本的引力场方程式，并花费了他几年的光阴。正如他自己后来承认，他的一系列引力论文，事实上是绕了一连串的弯路。

除此之外，新的引力理论在弱场的近似下，必须符合牛顿的万有引力公式，爱因斯坦在一开始认为引力场的强度，主要来自度规的时间分量，并没有理解到度规空间的分量也会有相同大小的贡献，这个错误同样使爱因斯坦困惑了一段时间。与此同时，爱因斯坦还希望被观测到的水星椭圆轨道“超额进动”（excess precession），也就是超出牛顿理论所估算出来的进动角，可以被新的引力理论解释。为了计算他的引力理论所产生的水星轨道的进动大小，爱因斯坦邀请他的朋友贝索（Michele Besso，1873—1955）来帮忙。

在苏黎世理工学院，贝索是一位优秀的学生，受到了更好的数学训练。关于水星轨道进动角的计算虽然非常冗长而繁复，但是很直接。最后得到的结果并没有给爱因斯坦带来愉悦，该计算得到的进动角，只有实际观测超额进动角的一半左右，而爱因斯坦还未理解到，这是因为他忽略了度规空间分量贡献的关系。爱因斯坦对这个令他失望的结果保持沉默，将它深藏在抽屉里；直到1915年，当爱因斯坦改进了他的引力理论，并且清楚了解问题的症结后，才能很快地重新计算，并得到他所期待的数值，符合观测结果。

图1-1　水星轨道进动