结构力学习题的影响线计算和应用

（1）既定荷载作用下的量值计算

设原结构上作用有集中荷载FPi（共有n个）、均布荷载qi（共有m 个）和集中力偶Mi（共有k个），利用影响线计算量值S 的公式为：

式中：yi——与集中荷载FPi对应的影响线竖标；

Ai——均布荷载qi作用范围内影响线的几何面积代数和；

——集中力偶Mi作用点处影响线切线的斜率。

【例8-1】　试作图8-1所示多跨连续梁的MC和FRD影响线，并利用影响线求荷载作用下的MC和FRD。（北京交通大学2012）

图8-1

解　①用机动法绘制MC和FRD的影响线，如图8-2（a）、（b）所示。

图8-2

②求MC和FRD的量值：

MC=20×2=40kN·m

FRD=20×3+10×（3+1）×4×1／2=140kN(www.xing528.com)

（2）最不利荷载位置的确定

移动荷载的最不利位置是指某一量值达到最大（或最小负）值时的荷载位置。

①当实际移动荷载为单个集中荷载FP时，最不利荷载位置为FP作用在影响线的最大正值（或最大负值）竖标时，将产生最大值（或最小值）。

②当实际移动荷载为均布荷载且可任意断续布置时，由S=qA 可知，当均布荷载布满S 影响线的所有正值（或负值）部分时，将产生S 的最大值（或最小值）。

③当有若干个集中荷载作用时，可证明最不利荷载位置中，必有一个集中荷载位于影响线的最大竖标处，此时可根据如下判别式来判定：

且有：若S为极大值，；若S为极小值，；找出若干个临界荷载及对应的临界位置后，计算所有临界荷载位置下的量值S并比较，其中量值最大的荷载位置即为最不利荷载位置。

【例8-2】　图8-3所示静定梁，有一段均布荷载在梁上移动，截面E的弯矩最大值MEmax为_____________。（天津大学2010）

图8-3

【解】　作截面E 的弯矩影响线ME，如图8-4所示，当均布荷载两端在影响线最大值两侧对应的竖标相等时，产生ME的最大值，即=75kN·m。

图8-4　ME影响线（m）