数算练习中的量与符号

孩子所具备的全部必要知识，其实就是为了对数字有清楚概念而准备的。数量的概念存在所有感觉教学的教材里，如：较长、较短、较浓、较淡。相同与相异的概念，形成感觉教学真正技巧的一部分。孩子无法吸收老师快速给予的“某些数的概念”，但却可经由本身慢慢地建立、发展而了解数的存在。

——蒙台梭利

一、学习数字概念的第一步

第一个用来数数的教材是一系列不同长短的木棒，这些由1～10渐进的长度已经是感官教育的一部分。

第一个用来数数的教材是一系列不同长短的木棒，这些由1—10渐进的长度已经是感官教育的一部分。最短的木棒是10厘米长，第二根是20厘米长，等直到最长的是1米。当这些木棒被用来教数字时，让我们感觉到的已经不只是颜色，也不再像只是用眼睛估计的长度。在此每根不同长短的木棒以每10厘米为一个单位，用一红一蓝相间的颜色涂好，则可用来区别和数算。如果第一根代表一个数量，其他的则连续代表2、3、4、5、6、7、8、9、10个数量，这个教材的长处是：虽然每根木棒都不同，但能数算，亦可组合在一起代表一个数量，例如第五根木棒完整的一根是代表5，但它是用颜色区隔成五个小单元组成的。由此可以克服一个很大的困难，在数算时，她们将一个个独立的单元加起来。譬如在数算小物品(相同的小立方块)时，她们先放一块，说1，加上另一个则为2……。但孩子对每一个新物品则只说“1、1、1、1、1。”他不说“1、2、3、4、5。”

当她们教3岁半至4岁的孩子数算时，要将整个的单元变大时，会造成更大的困难。需要把独立的小单元放在一起，组成一个整体的大单元，其实已超过孩子脑筋的思考范围。许多孩子能数、能背诵记忆中一连串有序列的数目，但对数量的对应还是很不清楚。

对孩子来说，点算手指头、手或脚很具体也很容易。因为他们知道去那里找这样物品来数算这些数量，他永远知道他有两只手和两只脚。

孩子不能很有把握的数算一只手有五根手指。但当他会数算出时，他不了解为什么一只手有五根手指头？为什么他要数算同样的手指头“1、2、3、4、5”？这种年幼时期数算的错乱，到他心智成熟后便会改过来。孩子绝对精确和具体的心智，需要明确具体的指点。当她们教数棒时，她们发现越年幼的孩子对它越有兴趣。

所有的数棒配合数目，一单元、一单元逐渐地增长。它不但代表数字的绝对观念，也给他们数字的相对观念。在学习感官练习时，他们已经学会比例的观念，在此他们用数学的方式来确认，这就构成学习算术的第一课。这些数目可以被拿来做比较，所以数棒马上就被拿来组合和比较。譬如将1的数棒和2的数棒放在一起，即可变成和3的数棒一样的数目；把2和3的数棒连接放在一起，可以变成和5的数棒一样的长度。最有趣的活动练习，包括将数棒和感官练习中的长棒一样，边靠边的一根根放在一起，结果变成像红、蓝色管风琴的音管，形成美丽相间的条纹。把1的数棒放到9的数棒旁边(即把离数棒10最远的一根放到离它最近的一根旁边)，接着将2的数棒放到8的数棒旁边；3的数棒放到7的数棒旁边；4的数棒放到6的数棒旁边，如此做出所有和10的数棒等长的组合。这种数量的移动摆放组合，难道不是开始在做算术的运算吗？

在这轻松地移动物品的游戏中，孩子的智能不必白费力的去想一组分离的单位代表一个总数量的难题，它可以将精神投注在更高层次的活动练习，那就是预估放在一起的数量。障碍已然被排除，孩子的心智力量都被派上用场，而且学到超过他们年龄限制的进阶课程。当孩子开始会阅读和书写时，学习数字符号已不再是难事。教师给他像砂纸字母一样的砂纸数字的卡片，孩子描摹上面的符号，一方面学习怎么写，一方面学习它的名称。学会的卡片可以被放到相对应的数捧上。将数字和符号放在一起的活动练习，与将物品名称和物品放在一起的活动练习是雷同的。当这个工作完成时，也已奠定孩子接着下来长期工作的基础。数棒的总和可以被写下来，放在对应的数量旁边。有些5岁的孩子常常在小笔记本上写下密密麻麻的小数字。

虽然数棒是孩子在学习算术的构成要素，其他还有两种教材和它也属于同一系列。其中之一，可以给孩子分开单位的数法和对数目集合体的观念，并且将连续符号的概念呈现在孩子的眼前——0、1、2、3、4、5、6、7、8、9她们称它为纺锤棒箱。教具盒子被分成10格，每格上面依序写着0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的数字，孩子将和数字等量的物品分别放入格子里。他将每个单位组合在一起，在此所使用的物品是纺锤形的棒子。

另外一种教材是一个装有一组卡片和一些物品的盒子(物品的颜色相同)，这些卡片上分别写着0～9的数字。

孩子必先自己将这些卡片按照数字的顺序排成一横列，然后将适当数量的物品分别成双的放在卡片下面。这样让他们很容易看出奇数和偶数的差别。

她们认为这些教材是建立数学教学和学习算术基本的必需品。

接下去的是一些比较细节的解释，这些可能对实际教学比较有帮助。

这些红、蓝数棒必须先从左边开始(每一根都由1开始)数算，然后按照长短，由最短的开始并排在一起，也就是1和2、2和3等等。放好之后再用手指由右边开始，自每根数棒的尾端如同梯阶般由下而上数到最长的一根，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

孩子因对这个有兴趣，他们便不断地练习从这三方面来证实1～10的数目概念。

现在除了在感官练习对它长短的认识外，她们又加上数算。先将这些数棒放在地上或混合的放在桌上，然后教师拿一根给孩子，要他算出上面有几节，例如5。然后她对孩子说，给她一根长一点的，孩子用视觉去选择。教师则观察他。是否数算节数去比较长短，而得到他的结果。这个活动练习可以连续做几次。现在每一根数棒都单独有自己的名字：1的数棒、2的数棒、3的数棒、4的数棒等等。最后按照他们操作的顺序，他们只说：1、2、3、4等等。

(一)数字与符号

这时候，如果孩子已经知道怎么写字，教师就给他砂纸数字。就和其他已经示范过的教材一样教他们：“这是1”；“这是2”；“给我1”、“给我2”、“这是什么数字？”也要像字母一样的描摹这些数字。

(二)量与符号的结

蒙台梭利为数算的练习做两个盒子(纺锤棒箱)，每个盒子又垂直划分成5个小部分，每个隔间中都可放置物品。在每个隔间上分别放置着一个符号，第一个盒子是0、1、2、3、4，第二个盒子的是5、6、7、8、9。

这个练习非常明确，就是将和符号相同的数量的物品放在隔间里。在这个练习里，她们给孩子不同的物品让他们可以替换着使用。例如，特别订做的小纺锤、福禄倍尔的立方体和西洋棋等。孩子的身旁放着一堆物品，孩子必须把它们分别放在不同的隔间里。例如，一个棋子对应1、两个对应2等等。当他做完时，他便请教师来检查是否正确。

二、怎样进行简单加减法练习

数字，是一个字，一个书写的符号，在演进过程中，人类的数学心智已能够做无限的进展。

使用教长度的教材来做10以下的加减法，则容易许多。给孩子做好玩的问题，将木棒安排成一组。先将木棒按长到短排好，然后拿起最后一支放在9旁边。同样地，拿起倒数第二支2，放在8旁边，如此一直做到5。

这个很简单的游戏代表10以内数字的加法：9+1，8+2，7+3，6+4。然后，当他将那些木棒放回原位时，他必须拿走4放在5下面，然后依序拿3，2及1。这个动作让他能以正确的顺序放回木棒，同时，他也做了一连串的减法：10－4、10－3、10－2、10－1。

真正数字的教学，表示了从木棒到使用不同的单位计数过程的进展。当数字被知道时，他们所代表的是抽象的概念，而木棒代表的是具体的，也就是他们代表某一数字单位的“整体”。

语言的“综合性”功能及它为智慧所开启的广大工作领域。是借“数字”的功能而显示的，而数字可用木棒替换。

木棒的使用会将算术限于10或小一些数字的运算，即使比起感觉的基本教育在心智构造上的限制，它的进展仍非常少。(www.xing528.com)

数字，是一个字、一个书写的符号，在演进过程中，人类的数学心智已能够做无限制的进展。

教材里有一个装有光滑卡片的盒子，卡上粘着1到9的数字，是自砂纸上剪下来的。这个与卡片上黏有砂纸字母的那一组类似。教的方法一样。小孩子先按书写方向“触摸”数字，同时讲出它的名称。

这次他要比上次学字母做较多的工作。先让他看如将每一个数字放在数目一致的木棒上。当学会所有数字后，第一个练习是将数字卡放在按顺序排好的木棒上。这样的安排成相连贯步骤，孩子重复这个智慧游戏可持续许久，因为排卡片很有趣。

三、如何教儿童学单位组合练习

孩子拿着自己的数字，经过使用，他会知道如何将单位组合在一起。

在这个活动中，我们可用教材中的一组钉子，另外再给孩子们各式各样的小东西——小木棒、小方块、筹码等。

这个练习是在数字对面放置它所代表数量的物品。小孩可用教材中的一只盒子，这个盒子隔成很多空间，在每一空格上，写一个数字，然后小孩在该数字的空格里放置同数量的钉子。

另一个练习是将所有数字放在桌上，在其下放置它所代表数量的小方块、筹码等。

这只是第一步，在这本书里不可能涵盖接下去的课程，如：0、10及其他算术内容，有关其他方面的发展，可参阅其他作品。其实这份教材也介绍了某个可行的方法，譬如，在装钉子的盒子里，有一格上面写“0”。在这格里“什么都不许放”，然后接着那一格才是“1”。

“0”代表什么都没有，放在1旁边方便我们数，当我们数到9时，接着便出现10。

如果不用1当单位，而用10的木棒，那么我们就可数10、20、30、40、50、60、70、80、90。教材中有一种框架里装卡片，上面写着号码10到90。这些号码固定在框上，可由另外放进去的1到9遮盖0的部分。如果盖住。的是1，则数字变成11，如果是2盖住0，则变成12，以此类推到9，然后再看二十几的部分(第H个10)，一直下去，从10到90。

这个练习刚开始时，可用木棒做11到19的数。就如框里开始从第一个10开始时一样，教师拿代表10的那支木棒，然后将1的木棒放在0的位置，盖住10内的零。之后，教师拿走1的木棒及数字1，将2的木棒放在10的木棒旁，数字2盖住0，以此类推到90再做下去。

小孩子做这个练习时很有热诚，因为是两件工作，而且给予他们很清楚的概念。

四、零的练习

零的练习靠非常有意思的游戏来完成。

让我们等到孩子指着0的隔间，问：“我必须在这里放什么呢？”然后回答他：“什么也不放，0就是没有东西。”但是这还不够，他们必须要感觉到什么是没有。因为这个缘故，可以使用一些可让孩子发生兴趣的游戏。孩子围绕着蒙台梭利坐在他们的小椅上，蒙台梭利对一个已经完成数算练习的孩子说：“来，亲爱的，过来我这里0次。”几乎每次这孩子都跑过来，然后回到他的位子上。蒙台梭利说：“亲爱的，你已经来了一次，而我是说0次。”他开始猜测“那我该怎么办呢？”“你不必做什么。0就是没有。”“但是我怎么做没有呢？”“不必做什么，你必须停在你的位子上，你不必动，你不必来。0代表一次也没有。”

她们不断地练习。“你，亲爱的，用你的手指给我送0个飞吻。”这孩子摇摇头，笑着不动。蒙台梭利再用非常感性的声调重复说：“给我0个飞吻、0个飞吻吧。”等了一下，大家都笑了。蒙台梭利故意把声音装的很生气的样子，然后很严肃地对一个孩子：“你过来0次。”他没有动。因为蒙台梭利的态度由乞求转变成威胁，使他们很兴奋。他们的笑声变成爆笑。

然后蒙台梭利的声调转成可怜、悲哀的呻吟：“但你为什么不给我飞吻？为什么不来？”每个人眼中充满着高兴欢笑的泪光，叫着说：“0就是没有，0就是没有。”蒙台梭利终于非常平和地笑着说：“啊，对的！现在每个人都过来一次。”他们每个人都向她靠过来。

就是在这样的游戏中，蒙台梭利完成了她的教育。

五、数字记忆练习

孩子不但要穿梭在同伴之间，还要记住他的零数字。

当孩子知道怎么写数字，并且知道数字的意思，就要他们做下面一个练习。

准备一叠纸条，上面有印好的，或用手写的由0～9的数字(蒙台梭利经常用日历，只要把旁边去掉留下中间的数字就行了，如果可能的话，她会选择红色的)。”把纸条折起来放在一个抽签用的盒子里。孩子抽出一张纸条带回他的位子上，仔细地看过再折好，把他的秘密藏好。然后持有纸条的孩子(当然是那些比较大、那些认得数字的孩子)一个个或甚至一组组，走到教师放着一堆物品的大桌上——有小立方体、福禄倍尔的小砖块，和用来做轻重练习的木片。每个人照着他们的数字拿他们所须物品的量。折起来的纸条藏着一个秘密，而数字仍然保存在孩子那儿。孩子不但要穿梭在同伴之间，还要记住他的数字。当他在搜集物品时，也要记得他的数字然后一件件的点算。这时教师便有机会做很有趣的个人观察，看他们怎样记数字。

当他做完时，他必须等教师来检查他的工作；教师来之后打开纸条，如果他的工作没有出错，教师会很高兴地赞美他。

游戏刚开始的时候，孩子经常会拿比他们的数字还要多的物品。这并不是他们不记得数字，而是他们渴望拥有比较多的物品。这是一个非常普遍、原始而没受教育的人本能上的小弱点。教师试着对学生解释从桌上拿太多物品是没用的，这个游戏的重点是能准确的猜测数量。

虽然不容易解释，但孩子渐渐能够掌握这个观念。

教孩子保持在规定的范围，是一个真正自律的训练。譬如说，要他在一堆他可随便取拿的物品中只拿两样，而他的同伴拿得比他多。所以蒙台梭利觉得这个游戏是训练意志的成分，比训练数字的成分多。

抽到0的孩子，坐在他的位子上不动。他看到其他有纸条的孩子都站起来随意走动、随意拿取物品，而他却不能拿。抽到0的孩子经常是那些已经知道怎么算、怎么把一组物品照秩序排在桌上，而很有信心的等待别人来检查他们工作的人。这时拿0的孩子脸上表情一定非常有趣，每一个不同的表情可代表各个不同的性格。有的不动声色，非常骄傲的试着隐藏内在幻灭的痛苦；有的则用很短暂的姿势表现他们非常失望；有的藏不住露出好奇的微笑，而导致其他同伴的好奇心；有些人跟着其他同伴一起移动直至游戏的最后，非常明显地露出他们的期望甚至是忌护；有的表现得很认命的样子。

当他们承认他们拿到0的态度也会非常有趣，在受检查的时候，当教师问：“你，你是不是拿到没有。”“我有0。”“它是0。”“我的是0”这些都是最普通的回答。但是他们的姿态、声音的音调则流露出不同的感觉。很少人敢大胆的把它们解释成没有，他们大多数人都觉得气闷或放弃的事实。有些行为上的教训是必须学的。“小心！要保守0的秘密是非常困难的。0使你感到困惑，你要非常小心不要让别人知道你是0。”过不了多久，自尊心(自傲)的尊严占优势，孩子渐渐习惯接受0和小数目，而不受其干扰，并且觉得很满足。而且他们能不露出一点他们最初被击败的感觉。