统计方法在物理学的应用

统计方法的应用基本上可以分为两类：一是重复进行大量实验，然后对大量数据进行统计，称为第一类统计；二是针对由大量子系统（微观）组成的一个系统（宏观），在宏观上采用统计方法，得到宏观上的新的概念，称为第二类统计。第一种情况主要反映系统的稳定性问题，第二种情况考虑系统结构上的问题（涉及线性或非线性，以及一致性问题）。

假定具有n 个自由度的经典哈密顿系统，给定一个哈密顿量

令Q，P 为两个n 维向量，qi 为广义坐标（位移），pi 为广义动量［4-6］。

可得Q，P 运动的正则方程

考虑由M 个具有完全相同的式（12-1）描述的哈密顿系统（这M 个全同系统的集合叫作系综），以n 个q 坐标和n 个p 坐标构成的2n 维笛卡儿坐标（Γ 空间）。对应每一个系统的一组Q，P 坐标，在Γ 空间中有一个代表点；而对应一个系综的M 个系统，在Γ 空间中有M 个代表点。令D（Q，P）为系统在（Q，P）处代表点的密度。那么(www.xing528.com)

显然，ρ（Q，P）是系综中一个代表点落到（Q，P）处的概率密度。在统计物理中人们已经熟知，描述系统运动轨道的式（12-4）正则方程可以用描述概率密度的式（12-6）刘维尔方程（Liouville equation）来等效代替。

这是统计方法应用非常成功、最典型的例子，这属于第一类情况。但是这里是有条件的，系统的状态必须是非常标准的线性状态。在式（12-1）中只要包含有qi，pi 的二次方或二次方以上的量（出现非线性），就会产生很大的困难。这里提到的“系综”的概念，即全同系统的集合［4］，便是一致性的表现。

空气动力学更是具体的成功案例，它把理想气体中气体分子的运动做了统计学处理。气体动力学方程首先假定把气体分成微团，微团的长、宽、高分别为dx，dy，dz，同时分别假定温度、压力、质量等在微团内是均匀的（微团中的每一气体分子对压力等参数的贡献也都是一样的，分子之间的作用也是对称的，这是一致性的表现），然后按动力学的方法建立微分方程。在低速层流情况下，理论计算和实验结果是很接近的。但是，当在高速气流下或气体很稀薄时，这种统计规律就被打破了，原来的空气动力学分析就不适用了。