统计不变性与S空间的不变性：理论神经信息学初探

生物学家碰到不确定的现象都用统计的方法来处理，追求统计上的不变规律似乎是唯一的方法。当碰到实验数据不符合统计规律的时候，就会把它归结为“还有某些因素没有被控制好”“正确的统计方法还没有找到”，或者更具体地说是“正确的统计特征量还没有找到”等。由于生物系统的复杂性，这些说法还是会被很多人所接受的。用统计方法处理数据，就是在随机的数据中找出确定不变的统计规律，这就是追求统计上的不变性。

对任何一个系统进行实验，可得出一群数据，每次实验所得的数据都可以被看作n 维实空间中的一个随机点。做多次实验就可得到很多随机点，这些点一定落在真实点附近的一个小范围内。只要点的数量足够多，在n维空间中形成一个分布，那么可以求出这一分布的中心点，这一点就是统计上的不变点。应记住笛卡儿坐标是建立在刚体上的，而S 空间的坐标已经把笛卡儿坐标从刚体上移到弹性体上了，所以在S 空间中根本就没有确定的点。

在神经系统中输入脉冲序列信号，取式（5-1）H-H 方程输出的圆映射，如图12.1所示。由于外界环境的不确定性变化，神经元的输出也存在不确定性变化。从式（5-1）H-H 方程来看，环境不确定性变化可等效表现为式（5-1）中参数的不确定性变化，从而使式（5-1）的解（脉冲序列）产生不确定性变化。这种不确定性变化是不满足任何统计规律的，它们最终都反映在图12.1的两函数φR、φL 的变化上。但是只要φR、φL 两函数曲线保持单调性不变，根据S 空间中单调函数的等价性，在S 空间中它们的任何规律都不会变，存在S 空间不变性。这就是说，存在某些不满足统计规律的数据在S空间中却表现出规律性的情况，S 空间已经超出了统计的框框。S 空间不变性与统计上的不变性是两回事，两者之间没有任何内在联系。

图12.1　神经元的圆映射(www.xing528.com)

前面在神经元方程计算中找出的在S 空间中存在的“确定的规律”，都是不确定性的“确定的规律”。S 空间才是真正跳出了线性观。从S 空间定义看，不考虑数轴上两点之间距离的具体数值而只讲序本身，就是去掉了确定性而保留不确定性指标。

在实空间中的a+b=c 是确定性规律，因为当a 和b 确定后，c 一定是确定的。如果a 和b 受到随机干扰，两个量都有一个稳定的随机分布，则c 的分布也可从a、b 的分布中求出。a＞b 是不确定性的规律，因为当a 确定后，b可以任意定，是不确定的。大于、小于是S 空间中序的不变性指标，都是不确定性的确定性指标。

有了S 空间理论，我们对统计有了新的看法，同样对与统计有关的种种处理方法也产生了新的认识。