理论神经信息学初探：S空间理论探索

仅仅通过纯粹的逻辑思考，我们不能获得关于经验世界的任何知识。

——阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）

不能仅仅从逻辑上推导出数学——数学不是一种逻辑的结果，而是一种自然存在的法则——每一个分支都必须含有包括逻辑和数学在内的适当的公理。

——大卫·希尔伯特（David Hilbert）

若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。

——庞加莱

没有现代数学，就没有现代科学。现代的科学家正逐渐由确定性的世界观向不确定性的世界观转变，现代数学也需要从完全确定性的观念转向带有不确定性的观念。某些生物学家认为，将计算机、数学、信息等现代理论用于神经科学领域，就能解开神经信息科学之谜。这里存在一个误区：现有的这些理论，都是以确定性为先决条件的。数学中的最基础的数域是自然数，最基本的空间是实空间，最基本的坐标是笛卡儿坐标系统，而笛卡儿坐标系统是建立在抽象的“刚体”上的。现实世界没有刚体，引进刚体这个概念实际上是为了表示系统的确定不变性。物理学中讨论的最基本的参照体系，必须建立在刚体上，而且这一坐标体系必须是做匀速直线运动的，否则物理系统的很多定理就不准确了。这说明，现代数学和物理系统完全建立在确定性的基础上。而神经系统正好相反，它是以不稳定和不确定为特征的。只有离开确定性的理论观点，逐渐建立起不确定性的观点，在不确定和不稳定条件下建立起分析问题和思考问题的方法，才能对神经系统信息传递、运算、记忆和联想的过程有一个真正的认识。

要改变确定论的观点，还是要从数学开始。数学被认为是世界上最严谨的科学，追求严格推导和证明是数学最突出的特征，数学家常以此为骄傲。可是现在已有不少数学家意识到在数学中存在不足，即存在着大量不确定因素［1］。应该说数学是紧紧依靠自然科学的发展而发展起来的，从牛顿时代开始，科学家们都在追求种种确定性规律，数学当然也反映了确定论的观点。但是，正如普里戈金所指出的，随着科学技术发展，人们逐渐看到确定论思想不完全符合自然界规律，这使人们的思想逐渐要从确定性的转变为不确定性的。

没有一个具有不确定性的数学体系，如何能描述不确定性的自然规律？如何分析不确定的自然现象？人们要如何跳出确定论的思想框框？人们又如何能理解具有不确定性的神经信息系统？

一提到不确定性，人们就会想到采用统计方法，它是现有的唯一能架起确定性和随机性的桥梁，因此统计热力学在20世纪受到热捧。但是统计方法有局限性，它只适合线性稳定系统，对于不稳定非线性系统一般是不适用的。后面我们还会讨论到，统计思想其实还没有跳出确定论的思想范畴。我们必须跳出统计的框框，去寻找处理不确定性系统的方法。

本书从神经系统特性出发，提出S 空间假设，不再局限于确定性的实空间理论，而采用不确定性的S 空间假设来分析神经信息，以此作为一种新的尝试。(www.xing528.com)

为便于说明S 空间的定义，先从人们所熟知的实空间开始讨论。实空间是现代数学的基础，即使在讨论复数空间时，也可借用实空间坐标系统来表示。

一维实空间可以用一条直线来表示，直线上的每一点代表一个元（数）。在一维实空间中有一些最基本的特性。假定一维直线空间上有任意两个不同的点x，y∈R1，x≠y，它们有两个特点：①这两点一定存在关系x＞y 或y＞x；②当x 和y 确定不变后，两点的距离‖x-y‖也不变了。

S 空间只是对实空间做了一些修正，保留第一个特点，去掉第二个特点，也即‖x-y‖成为不定。这样的空间就是S 空间。可以通过一条橡皮筋上各点间的关系来形象地表示：在橡皮筋上任意取两点x，y，当橡皮筋被任意拉伸时，两点之间次序保持不变，即存在关系x＞y 或y＞x 不变，但是两点之间的距离可以随意改变。现在来定义一维S 空间就容易了。

【定义4．1】一维S 空间S1

对一维的数轴上任意两元x，y∈S1，x≠y，它们之间存在序关系，即x＞y（或x＜y）。当x，y 在一维数轴上变动时，它们的大小次序保持不变，但x，y间的距离‖x-y‖会变化，则此空间称为一维S 空间，记为S1。

【定义4．2】n 维S 空间Sn

在n 维空间中，对任意两元X，Y∈Sn，X=（x1，x2，…，xn），Y=（y1，y2，…，yn），在每对分量（xi，yi）之间保持有一维S 空间的原来序关系，且此序不随它们在此空间中的变动而变化。但X，Y 的距离‖X-Y‖会任意变化，则这个空间称为n 维S 空间，记为Sn。

二维S 空间相当于把刚体平面上的二维笛卡儿坐标移动到弹性膜上去。膜各处的弹性系数可以不一样。在膜的拉伸过程中，膜上的各点虽然都在移动，但是有一个特性不变，那就是各点在同一轴上分量的大小——“序”保持不变。

对n 维S 空间，也可以依次类推。因此，也可认为S 空间是有序空间。

当橡皮筋或弹性膜失去弹性时，弹性系数为零，这就是原来的笛卡儿坐标。笛卡儿坐标可以描述实空间，所以，S 空间是实空间的推广，实空间是S空间的一个特例。再引申一点：“不确定性研究范畴”应该包含了“确定性的范畴”。确定性是不确定性中的一个特例。